Uluslararası Matematik Olimpiyatı

$A_1A_2A_3A_4A_5$ beşgenini tepe, $B_1B_2B_3B_4B_5$ beşgenini de taban yüzü olarak kabul eden bir prizma veriliyor. Bu iki beşgenin her kenarı ile her $i,j=1,\dots, 5$ için tanımlanan $A_iB_j$ doğru parçaları kırmızı ya da yeşile boyanıyor. Köşeleri, prizmanın köşeleri olan ve tüm kenarları boyanmış olan her üçgenin farklı renge boyanmış iki kenarı vardır. Tepe ve taban yüzlerindeki $10$ kenarın da aynı renkte olduğunu gösteriniz.

Düzlemde, iki noktada keşisen iki çemberin kesişim noktalarından biri $A$ olsun. Sabit hızlarla hareket eden iki nokta, $A$ dan aynı anda başlayarak, kendi çemberlerinin üzerinde bir tam tur atarak aynı anda $A$ ya gelmektedir. Düzlemde, herhangi bir anda, hareket eden noktalara eşit uzaklıkta yer alan sabit bir $P$ noktasının bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm:

Çemberlerden $[AB]$ çaplı olanın merkezi $O$, $[AC]$ çaplı olanın merkezi $Q$ olsun. $O$ merkezli çember üzerindeki hareketli nokta $B'$, $Q$ merkezli çember üzerindeki hareketli nokta $C'$ olsun. $BC$ nin orta noktası $M$, $B'C'$ doğru parçalarının orta noktaları hareketli $M'$ noktası olsun.
$ABC$ üçgeninde $M$, $Q$, $O$ noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğu için $OM=AQ=QC'$ ve $QM=AO=OB'$ dür.
$B'$ ve $C'$ noktaları turlarını eşit sürede tamamladıklarına göre, bu noktaların açısal hızları eşittir. $AB'$ ile $AC'$ yaylarının ölçüleri eşit, dolayısıyla, $BB'$ ile $CC'$ yaylarının ölçüleri de eşit olacak. Bu durumda, $\angle BOB' = \angle CQC'$. Aynı zamanda, $AOMQ$ dörtgeni paralelkenar olduğu için, $\angle BAC = \angle BOM = \angle MQC$. Bu durumda $\angle BOM - \angle BOB' = \angle CQM - \angle CQC' \Rightarrow B'OM = C'QM$ olur. $OB'=QM$ ve $OM=QC'$ olduğu için $\triangle MOB' \cong \triangle C'QM$, dolayısıyla da $B'M=C'M$ olacaktır. Söz konusu sabit $P$ noktası $M$ dir.

$\pi$ düzlemi ile, bu düzlemde bir $P$ noktası ile bu düzlemde yer almayan bir $Q$ noktası veriliyor. $(QP+PR)/QR$ oranını en büyük yapan ve $\pi$ düzleminde yer alan tüm $R$ noktalarını bulunuz.

$$\sum\limits_{k=1}^{5} kx_k = a, \sum\limits_{k=1}^{5} k^3x_k = a^2, \sum\limits_{k=1}^{5} k^5x_k = a^3$$ koşulunu sağlayan negatif olmayan $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ sayılarının bulunmasını sağlayan tüm gerçel $a$ sayılarını bulunuz.

$A$ ve $E$ düzgün bir sekizgenin karşı iki köşesi olsun. Bir kurbağa, $A$ dan başlayarak zıplıyor. Kurbağa, sekizgenin $E$ hariç her köşesinden, komşu köşelerden birine zıplayabiliyor. $E$ ye gelince ise zıplamayı bırakıyor. $a_n$ ile tam olarak $n$ zıplama sonucu $E$ ye gelebilmeyi mümkün kılan farklı yolların sayısını gösterelim. $x=2+\sqrt 2$ ve $y=2-\sqrt 2$ olmak üzere; $a_{2n-1}=0$ ve her $n=1,2,3,\dots$ için $$a_{2n} = \dfrac{1}{\sqrt 2}(x^{n-1}-y^{n-1})$$ olduğunu kanıtlayınız.
Not: $n$ zıplamalı bir yol, köşelerden oluşan bir $(P_0,\dots, P_n)$ dizisi olup aşağıdaki koşulları sağlar:

$P_0 = A$, $P_n=E$,
her $0\leq i \leq n-1$ için, $P_i \neq E$,
her $0\leq i \leq n-1$ için, $P_i$ ile $P_{i+1}$ komşudur.

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1979 Çözümleri