Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1979 Soru 3

[geo]

Düzlemde, iki noktada keşisen iki çemberin kesişim noktalarından biri $A$ olsun. Sabit hızlarla hareket eden iki nokta, $A$ dan aynı anda başlayarak, kendi çemberlerinin üzerinde bir tam tur atarak aynı anda $A$ ya gelmektedir. Düzlemde, herhangi bir anda, hareket eden noktalara eşit uzaklıkta yer alan sabit bir $P$ noktasının bulunduğunu kanıtlayınız.

[geo]

Çemberlerden $[AB]$ çaplı olanın merkezi $O$, $[AC]$ çaplı olanın merkezi $Q$ olsun. $O$ merkezli çember üzerindeki hareketli nokta $B'$, $Q$ merkezli çember üzerindeki hareketli nokta $C'$ olsun. $BC$ nin orta noktası $M$, $B'C'$ doğru parçalarının orta noktaları hareketli $M'$ noktası olsun.
$ABC$ üçgeninde $M$, $Q$, $O$ noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğu için $OM=AQ=QC'$ ve $QM=AO=OB'$ dür.
$B'$ ve $C'$ noktaları turlarını eşit sürede tamamladıklarına göre, bu noktaların açısal hızları eşittir. $AB'$ ile $AC'$ yaylarının ölçüleri eşit, dolayısıyla, $BB'$ ile $CC'$ yaylarının ölçüleri de eşit olacak. Bu durumda, $\angle BOB' = \angle CQC'$. Aynı zamanda, $AOMQ$ dörtgeni paralelkenar olduğu için, $\angle BAC = \angle BOM = \angle MQC$. Bu durumda $\angle BOM - \angle BOB' = \angle CQM - \angle CQC' \Rightarrow B'OM = C'QM$ olur. $OB'=QM$ ve $OM=QC'$ olduğu için $\triangle MOB' \cong \triangle C'QM$, dolayısıyla da $B'M=C'M$ olacaktır. Söz konusu sabit $P$ noktası $M$ dir.