Uluslararası Matematik Olimpiyatı

Düzlemde aşağıdaki şartı sağlayan en az üç noktalı tüm $S$ sonlu kümelerini belirleyiniz:

$S$ deki herhangi iki farklı $A$ ve $B$ noktası için, $AB$ doğru parçasının orta dikmesi, $S$ nin bir simetri eksenidir.

Çözüm:

Simetri eksenlerinden birini ele alalım. $S$ nin noktalarından bazıları bu simetri ekseni üzerinde olabilir, geri kalan nokta çiftlerinin orta noktaları bu simetri ekseni üzerindedir. O halde, $S$ nin ağırlık merkezi herhangi bir simetri ekseni üzerinde olmalı. Bu durumda tüm simetri eksenleri $S$ nin ağırlık merkezi $G$ de kesişir. Simetri eksenleri orta dikmeler olacağı için $S$, $G$ merkezli bir çemberin noktalarıdır. $S$ nin ardışık $3$ elemanı sırasıyla $A$, $B$, $C$ olsun. $B$, $AC$ nin orta dikmesi üzerinde olmalı. Bu durumda $AB=BC$, dolayısıyla da $S$ bir düzgün çokgenin köşeleridir.

Not:
Bu sorunun IMO Shortlist'inde yer alan versiyonu şu şekildedir:

Aşağıdaki koşulları sağlayan ve uzayda en az üç noktadan oluşan $S$ noktalar kümesine tam simetrik diyeceğiz:
$S$ nin herhangi iki farklı $A$, $B$ noktası için $AB$ doğru parçasını ortalayan ve $AB$ doğru parçasına dik olan düzlem, $S$ nin bir simetri düzlemidir.
Sonlu tam simetrik bir kümenin ya düzgün bir çokgenin ya düzgün bir dörtyüzlünün ya da düzgün bir sekizyüzlünün köşelerinden oluşması gerektiğini kanıtlayınız.

$n\geq 2$ sabit bir tam sayı olsun.

Aşağıdaki eşitsizliği, her $x_1, x_2,\dots, x_n \geq 0$ gerçel sayılarını için sağlayan en küçük $C$ sabitini bulunuz.
$$\sum\limits_{1\leq i < j \leq n} x_ix_j(x_i^2+x_j^2) \leq C\left(\sum\limits_{1 \leq i \leq n} x_i \right)^4$$
Bu $C$ sabiti için, eşitliğin hangi durumda sağlandığını belirleyiniz.

Çözüm:

$$\left(\sum_{cyc}{x_1}\right)^4=\left(\sum_{cyc}{x_1^2}+2\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right)^2\overbrace{\geq}^{AGO} \left(2\sqrt{2\left(\sum_{cyc}{x_1^2}\right)\left(\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right)}\right)^2$$
$$=8\left(\sum_{cyc}{x_1^2}\right)\left(\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right)\geq 8\sum_{1\leq i< j\leq n}{x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)}$$
Bundan dolayı $C\geq \dfrac{1}{8}$ elde ederiz. Çift satırlık ispatın son kısmında $\sum\limits_{cyc}{x_1^2} \geq x_i^2+x_j^2$ yani $n\geq 2$
olduğunu kullandık.

Eşitlik durumunda ise $\sum\limits_{cyc}{x_1^2} \geq x_i^2+x_j^2$ olduğundan $n-2$ tane $x_i$ sıfıra eşit olmalıdır.

$n$ sabit bir pozitif çift sayı olmak üzere; $n\times n$ kareli bir tahta ele alalım. Tahta $n^2$ birim kareden oluşuyor. Ortak kenara sahip karelere komşu kareler diyoruz.
Tahtanın $N$ tane birim karesini, tahtadaki her kare (işaretli ya da değil) en az bir işaretlenmiş komşu kareye sahip olacak şekilde işaretliyoruz.
$N$ nin alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

Aşağıdaki koşulları sağlayan tüm $(n,p)$ pozitif tam sayı çiftlerini belirleyiniz:

$p$ asal,
$n\leq 2p$,
$(p-1)^n + 1$ sayısı $n^{p-1}$ ile bölünüyor.

$G_1$ ve $G_2$ çemberleri, $G$ çemberine sırasıyla, farklı $M$ ve $N$ noktalarında içten teğettir. $G_1$, $G_2$ nin merkezinden geçmektedir. $G_1$ ve $G_2$ nin kesiştiği noktalardan geçen doğru $G$ yi $A$ ve $B$ de kesmektedir. $MA$ ve $MB$ doğruları, $G_1$ ile sırasıyla $C$ ve $D$ de kesişmektedir. $CD$ nin $G_2$ ye teğet olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm:

$AN$ ile $BN$, $G_2$ yi sırasıyla $E$ ve $F$ de kessin.
$G_1$ ile $G_2$ nin merkezi sırasıyla $O_1$ ve $O_2$ olsun.
$EC$ ile $FD$ doğruları $P$ de kesişsin.
$G$ nin $N$ ile $M$ deki teğetleri $Q$ da kesişsin.
$G_1$ ile $G_2$, $X$ ve $Y$ noktalarında kesişsin.
$AE \cdot AN = AX \cdot AY = AC \cdot AM \Rightarrow E,C,M,N$ çemberseldir. Bu durumda $\angle ACE = \angle ANM$ $= \angle ABM = \angle AMQ =$ $\angle CDM \Rightarrow CD \parallel AB$ olacaktır. Ayrıca $\angle MCP = \angle ACE = \angle CDM$ olduğu için $EC$ $G_1$ e teğettir.
Benzer şekilde, $EC$, $G_2$ ye de teğettir. Yani $EC$, $G_1$ ve $G_2$ nin ortak teğet doğrusudur.
Benzer şekilde, $FD$ de, bu çemberlerin diğer ortak teğet doğrusudur. Bu durumda, $P$, $O_1$ ve $O_2$ doğrusaldır.
$G_1$ e $O_2$ de teğet olan doğru $PC$ ile $S$ de kesişsin. $SO_2 = SC$ ve $\angle SO_2C = SCO_2$ olacaktır. $CD \parallel SO_2$ olduğundan $\angle O_2CD = \angle SO_2C = \angle SCO_2$ olacaktır. $CO_2$, $\angle SCD$ nin açıortayı olduğu için $O_2$ den $SC$ ile $CD$ ye inilen dikmeler eşittir. $O_2$ den $CD$ ye inilen dikmenin ayağı $T$ olsun. $O_2E = O_2T$ olacaktır. Bu da, $CD$ nin $G_2$ ye $T$ de teğet olduğu anlamına gelir.

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1999 Çözümleri