Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: idensu - Nisan 05, 2011, 01:44:19 ös

Başlık: 19.ulusal (2011) matematik olimpiyatı 1.aşama soruları
Gönderen: idensu - Nisan 05, 2011, 01:44:19 ös

Nereye atacağımı bilemedim. Lokman hocam sen uygun bir yere koyarsın artık.

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 05, 2011, 09:23:53 ös

A kitapçığını referans alarak çözelim...

çözüm 1:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Nisan 05, 2011, 09:48:13 ös

çözüm-13

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Nisan 05, 2011, 10:04:55 ös

çözüm-17

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 05, 2011, 11:31:50 ös

güzel bir kombinasyon sorusu.

çözüm 2:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: proble_m - Nisan 05, 2011, 11:52:40 ös

Çözüm 6

Aslında Fermat Küçük Teoremine göre, p ≠ 5 olmak üzere p asalları için p⁴≡ 1 (mod5) olacaktır.

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: proble_m - Nisan 05, 2011, 11:58:08 ös

Çözüm 7

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: proble_m - Nisan 06, 2011, 01:00:03 öö

Çözüm 14

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: gahiax - Nisan 06, 2011, 01:14:52 öö

çözüm 31

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: gahiax - Nisan 06, 2011, 01:50:53 öö

ÇÖZÜM 22
(f(0)=0 eşitliğini çözümde kullanmadım fazlalıkmı benmi yanlış çözdüm  :)

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Nisan 06, 2011, 05:14:47 ös

çözüm-29

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: geo - Nisan 06, 2011, 08:39:50 ös

29 nolu soru için, ben de çözüm yazarken matematiksel jargon gereği şu üçgenle bu üçgen benzer diyorum. bu soruyu çözemeyen çocuklar, insanlar çözümü anlasalar da benzer soruları çözemiyorlar. bizim neden böyle bir benzerliği yakaladığımızı göremiyorlar.

ama sanki artık bu sorular kuvvet konusunun özel hali gibi anlatılmalı, soru çözümlerinde de o pratik bilgi referans verilmeli. tıpkı öklid gibi. hangimiz öklid sorularını çözerken benzerlik uyguluyoruz.

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: proble_m - Nisan 06, 2011, 11:41:54 ös

Çözüm 3

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: halitkaya - Nisan 07, 2011, 11:08:54 ös

Çözüm 27...

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 08, 2011, 10:15:05 öö

çözüm 25/2

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: saladin - Nisan 08, 2011, 05:47:40 ös

Çözüm 20

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: idensu - Nisan 09, 2011, 03:15:44 ös

33 soruda bir birim küre diyor ancak yanıtlar pi ye bağlı değil. yanıtın Pi den bağımsız çıkma şansı olduğunu sanmıyorum. Bir yerde hatalı mı düşünüyorum acaba soru mu hatalı?

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: proble_m - Nisan 09, 2011, 10:15:22 ös

Alıntı yapılan: idensu - Nisan 09, 2011, 03:15:44 ös

33 soruda bir birim küre diyor ancak yanıtlar pi ye bağlı değil. yanıtın Pi den bağımsız çıkma şansı olduğunu sanmıyorum. Bir yerde hatalı mı düşünüyorum acaba soru mu hatalı?

Birim küreden ben hacmi 1 br³ olan küreyi anlıyorum. Bu şekilde ilk uğraştığımda cevabı 8/27 bulmuştum. Ama cevap 1/3 diyordu, bir daha bakma fırsatım olmadı..

Ekte Cabri3D ile görsellik sağlayabilirsiniz.

1-bilgisayarınızda Cabri3D dosyalarını explorer/firefox gibi tarayıcılarda açmak için eklenti yoksa:
http://download.cabri.com/data/cabri3d/212/Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe
adresinden indirip kurun.
2-rar dosyası içindeki explorer simgeli dosyayı açın.
3- eklenti uyarısı alırsanız, onaylayın.
4-Mouse un sağ tuşuna basılı tutarak şekli döndürün..

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: FEYZULLAH UÇAR - Nisan 10, 2011, 08:26:59 ös

11.soru.... ilk tuz..

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: idensu - Nisan 10, 2011, 10:29:48 ös

Alıntı yapılan: proble_m - Nisan 09, 2011, 10:15:22 ös

Alıntı yapılan: idensu - Nisan 09, 2011, 03:15:44 ös

33 soruda bir birim küre diyor ancak yanıtlar pi ye bağlı değil. yanıtın Pi den bağımsız çıkma şansı olduğunu sanmıyorum. Bir yerde hatalı mı düşünüyorum acaba soru mu hatalı?

Birim küreden ben hacmi 1 br³ olan küreyi anlıyorum. Bu şekilde ilk uğraştığımda cevabı 8/27 bulmuştum. Ama cevap 1/3 diyordu, bir daha bakma fırsatım olmadı..

Ekte Cabri3D ile görsellik sağlayabilirsiniz.

1-bilgisayarınızda Cabri3D dosyalarını explorer/firefox gibi tarayıcılarda açmak için eklenti yoksa:
http://download.cabri.com/data/cabri3d/212/Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe
adresinden indirip kurun.
2-rar dosyası içindeki explorer simgeli dosyayı açın.
3- eklenti uyarısı alırsanız, onaylayın.
4-Mouse un sağ tuşuna basılı tutarak şekli döndürün..

Sizin ne anladığınızı bilmiyorum ama mathworld  de tanım böyle demiyor.
http://mathworld.wolfram.com/UnitSphere.html

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 10, 2011, 11:10:33 ös

33. soru için:

birim çember denince r = 1 yarıçaplı çemberi çiziyoruz. Burada da ilk aklıma gelen R = 1 yarıçaplı küre olmuştu. neyse..ben hepinizin dikkatini çekecek başka bir noktadan söz edecektim.

yanlış hatırlamıyorsam sorunun cevabı TÜBİTAK tarafında E seçeneği (HİÇBİRİ) olarak düzeltilmişti. (şu anda resmi sitede sorular ve cevaplar yoktur ama güncellenecek)

sonra aklımdan uçup gitmişti, size biraz geç haber verdim ;D

Çözüm için İbrahim bey'in dediği gibi birim kürenin yarıçapını R = 1 alıyoruz. Aşağıda Barış Bey'in çizdiği şekildeki gibi büyük küreye içten teğet, dörtyüzlüye dıştan teğet olan olan küçük kürenin yarıçapı da r = 1/3 oluyor. Buna göre hacim = (4/81).pi br³ şeklinde buluruz. cevap E.

herhalde teğet kürenin yarıçapını sormak istemişler, sonra da yanlışlıkla hacim sorulmuş. Çünkü yarıçap sorulursa eski cevap anahtarına göre A seçeneğinde verildiği şekliyle r = 1/3 oluyor.

mesele anlaşılmıştır sanırım :)

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: proble_m - Nisan 10, 2011, 11:13:24 ös

Alıntı yapılan: idensu - Nisan 10, 2011, 10:29:48 ös

Alıntı yapılan: proble_m - Nisan 09, 2011, 10:15:22 ös

Alıntı yapılan: idensu - Nisan 09, 2011, 03:15:44 ös

33 soruda bir birim küre diyor ancak yanıtlar pi ye bağlı değil. yanıtın Pi den bağımsız çıkma şansı olduğunu sanmıyorum. Bir yerde hatalı mı düşünüyorum acaba soru mu hatalı?

Birim küreden ben hacmi 1 br³ olan küreyi anlıyorum. Bu şekilde ilk uğraştığımda cevabı 8/27 bulmuştum. Ama cevap 1/3 diyordu, bir daha bakma fırsatım olmadı..

Ekte Cabri3D ile görsellik sağlayabilirsiniz.

1-bilgisayarınızda Cabri3D dosyalarını explorer/firefox gibi tarayıcılarda açmak için eklenti yoksa:
http://download.cabri.com/data/cabri3d/212/Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe
adresinden indirip kurun.
2-rar dosyası içindeki explorer simgeli dosyayı açın.
3- eklenti uyarısı alırsanız, onaylayın.
4-Mouse un sağ tuşuna basılı tutarak şekli döndürün..

Sizin ne anladığınızı bilmiyorum ama mathworld  de tanım böyle demiyor.
http://mathworld.wolfram.com/UnitSphere.html

Normalde yarıçapı 1 br olan küre anlaşılması gerekiyor, fakat hacim sorduğu için cevap şıkları uygun değil. Ben de bu nedenle hacim üzerinden düşünerek önceki dosyayı göndermiştim. Şunu farkettim, eğer en büyük hacimli kürenin yarıçap uzunluğunu sorsaydı, o zaman cevap 1/3 diyebiliyoruz. Soru cümlesinde "düzgün dörtyüzlünün bir yüzüne DIŞTAN teğet" geçtiği için, istenilen küre şekildeki gibi dörtyüzlünün dışında kalmalıdır.
Cevap E şıkkı oluyor. Lokman hocamın dediğine göre düzeltilecekmiş. Fakat yine de cevap şıklarında pi olmaması bu haliyle E şıkkına öğrenciyi çabuk yönlediren bir soru olacaktır. Aslında yarıçap sorulması planlandığı anlaşılıyor.
3 boyutlu görsel için ekte Cabri3D dosyası mevcut...

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 11, 2011, 11:37:13 ös

problem 4'ün benzeri geomania olimpiyat denemeleri 1'de de verilmişti. oradan da okuyabilirsiniz...

çözüm 4:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 12, 2011, 12:22:57 öö

problem 8 in çözümüde fikir verebilecek birkaç söz söyleyebiliriz:

seçilen n tane sayının mod 6 da kalanlarını yazalım. Örneğin n=10 elemanlı {6,12,18,24,30,1,7,13,19,25} kümesine bakalım. Kalanlar {0,0,0,0,0,1,1,1,1,1} dir. Buradan seçilen 6 sayının kalanlarının toplamı mod6 da en az 1, en fazla 5 olabilmektedir. Yani 10 elemana sahip her kümeden toplamları 6 ile bölünebilecek şekilde 6 sayı seçmek mümkün olmayabilir.

demek ki n > 10 olmak zorundadır. Fakat buraya kadar yaptıklarımızla en küçük n değeri 11 dir demek için de erkendir. {0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,4} şeklinde 11 elemanlı bir kümeden {1,1,4,0,0,0} şeklinde 6 eleman seçmek mümkündür. Bunun gibi, 11 elemalı bir kümede 0,1,2,3,4,5 kalanları nasıl dağılırsa dağılsın daima 6 elemanın seçilebileceği gösterilmelidir. Bunu ispatlamak için güvercin yuvası prensibi işe yarayacak gibi duruyor. düşünelim, çözümün bu adımını tamamlarsam gönderirim :)

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 12, 2011, 01:39:11 öö

Çözüm 12: öğrencileri 1,2,3,...,100 diye numaralandırıp daire etrafına sıralayalım.

1 numaralı öğrenci 2,3,4,...,51 numaralı öğrencilere mesaj çekmiş olsun.
2 numaralı öğrenci 1 e mesaj çekmesin ve 3,4,5,..,52 numaralı öğrencilere mesaj çeksin.
3 numaralı öğrenci 1 ve 2 ye mesaj çekmesin, 4,5,6,...,53 numaralı öğrencilere mesaj çeksin. bu şekilde dairesel devam edelim.
50 numaralı öğrenci 51,52,...,100 e mesaj göndersin.
51 numaralı öğrenci zorunlu olarak öncekilerden en az birinin mesajına cvp vermek durumundadır. yine dairesel biçimde 52,53,...,100,1 numaralı öğrencilere mesaj çeksin.,
52 numaralı öğrenci öncekilerden en az birine mesaj çekmek zorundadır. 53,54,...,100,1,2 kişilerine mesaj çekmiş olsun.
bu şekilde devam edersek 100 numaralı öğrencinin de mesajlaştığı çektiği en az bir kişi olur. örneğin 1,2,3,..,50 numaralı öğrencilere mesaj çeksin.
en az durumda 50 kişi karşılıklı mesajlaşmış olur.
bizim örneğimizde (1, 51), (2, 52), (3, 53), ..., (50, 100) arasında mesajlaşma gerçekleşmiştir. Cevap C.

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 12, 2011, 11:51:08 öö

kolayca çözülebilecek bir ortalama eşitsizliği problemi ...

çözüm 15:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 12, 2011, 12:32:52 ös

çözüm 16: en az n = 2 öbek için istenen işlemi yapmak mümkündür. Cevap E.

taşların ağırlıkları a₁≤ a₂≤ a₃≤ ... ≤ a₂₀₁₁ olsun.

a₁ taşını birinci öbeğe koyalım. Eğer a₂ taşının ağırlığı a₁ in iki katı ise bu a₂ taşını ikinci öbeğe koyalım. Eğer 2 katı değilse yine a₂  taşını a₁ ile aynı öbeğe koyalım. Sonra a₃ ile a₂ taşlarını kıyaslayalım. Eğer a₃ = 2.a₂ ise a₃ taşını a₂ nin olmadığı öbeğe koyalım. bu algoritma ile tüm taşları iki öbeğe ayırırız.

daha iyi anlaşılması için 13 taş durumunda iki örnek verelim

Örnek 1: ağırlıklar 1, 1, 2, 2, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 olsun. aynı ağılıklar varsa bunları aynı kümeye koyacağız. Öbekler {1,1,4,5,6,7} ve {2,2,2,3,8,9,10} biçiminde dağıtılabilir.

Örnek 2: ağırlıklar 2 nin kuvvetlerinden oluşsun: 1, 2, 2², 2³, ... , 2¹² olsun. Öbekler:
{1, 2², 2⁴, 2⁶, 2⁸, 2¹⁰, 2¹²} ve {2, 2³, 2⁵, 2⁷, 2⁹, 2¹¹} olarak düzenlenebilir.

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: glaurung - Nisan 12, 2011, 08:34:21 ös

Alıntı yapılan: gahiax - Nisan 06, 2011, 01:14:52 öö

çözüm 31

soruda i , j , k tamsayı diyor. tamsayılar için baktığımızda 77yi sağlayan değer yok galiba. soru hatalı olabilir.

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 12, 2011, 11:28:25 ös

Alıntı yapılan: glaurung - Nisan 12, 2011, 08:34:21 ös

soruda i , j , k tamsayı diyor. tamsayılar için baktığımızda 77yi sağlayan değer yok galiba. soru hatalı olabilir.

güzel bir noktaya değindiniz, teşekkür ederiz. Sağlayan değer olmasaydı, soru hatalı olurdu dediğiniz gibi. 21 + 27 + 29 = 77 ve 21²+27²+29²=2011 olmaktadır. maksimum değer gerçekten 77 dir.

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 13, 2011, 12:11:17 öö

değerli arkadaşım Kurbani Kaya bey'in çözümünü düzenleyerek gönderiyorum.

çözüm 18:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: proble_m - Nisan 13, 2011, 12:21:40 öö

Çözüm 8:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 13, 2011, 12:39:09 öö

bu ispat çok iyi oldu Barış hocam :) teşekkürler

Çözüm 19 u verelim: Cevap E dir.

seçeneklerdeki kümeler analitik düzlemde çizilirse

A) x² + y² ≤ 1 bir çember ve iç bölgesidir. Bu küme ile ara kesiti olan bir doğru ya teğettir ya da doğrunun bir parçası (sonsuz çoklukta noktası) çember içinde kalır. istenen 2 ortak nokta şartı sağlanmaz.

B) |x + y|+|x - y| ≤ 1 kümesi, köşeleri (1/2, 1/2), (-1/2, 1/2), (1/2, -1/2), (-1/2, -1/2) olan kare ve içidir. kare bölge ile ortak iki noktası olacak biçimde bir doğru çizilemez.

C) |x|³ + |y|³ ≤ 1 kümesi de daireye benzeyen dışbükey bir kümedir. istenen şartı sağlamaz.

D) |x| + |y| ≤ 1 kümesi bir kare bölgedir ve istenen şart sağlanmaz.

E) √|x| + √|y| ≤ 1 kümesi iç bükey bir bölgedir. Örneğin x + y = 1 doğrusu çizilirse bu küme ile tam olarak iki tane iki tane ortak nokta bulunur. Bu noktalar (1, 0) ve (0, 1) dir.

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 13, 2011, 09:57:02 öö

pr 20, test mantığıyla değer verilerek cevabına ulaşılabilecek bir soru. biz tam bir ispat sunalım:

çözüm 20:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 13, 2011, 10:33:56 öö

Alıntı yapılan: gahiax - Nisan 06, 2011, 01:50:53 öö

ÇÖZÜM 22
f(0)=0 eşitliğini çözümde kullanmadım fazlalıkmı benmi yanlış çözdüm  :)

çözümünüz tamamiyle doğru H. İbrahim kardeşim, elinize sağlık :) f(2011) değerini bulabilmek için f(0) = 0 eşitliğine ihtiyaç yoktur. Herhalde her n değeri için belirli bir f(n) görüntüsü oluşturulabilsin diye f(0) = 0 verilmiş. ben çözüme başlarken ilk denememde f(2), f(3), f(4), ... değerlerini hesaplayarak bir kural olup olmadığına bakmıştım. çözümü uzatmaktan başka bir işe yaramıyormuş, denemeyin :) sonra 2011 den aşağıya doğru inmenin çok daha kolay olduğunu farkettim. benim gibi başlayanları böyle kandırmak için de f(0) = 0 verilmiş olabilir :)

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 13, 2011, 11:28:29 öö

çözüm 23:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 13, 2011, 09:59:47 ös

köklü ifadelerde kök dereceleri aralarında asal olunca sıralama işi daha bir zorlaşıyor. çözümün son adımındaki sıralamayı PC de hesap makinesiyle yaptım.  PC desteğine gerek kalmadan ve pratik bir sıralama yöntemi bulabilen üyemiz olursa buraya ekleyebilir :)

çözüm 35:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: iskender - Nisan 16, 2011, 01:52:08 ös

Yeni üye oldum. Sitenin kullanımına tam hakim değilim. 30. soru daha evvel çözüldü ise acemiliğime verin :)
30. soru

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: iskender - Nisan 16, 2011, 02:17:18 ös

28. Soru

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: iskender - Nisan 16, 2011, 02:36:16 ös

26. Soru

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: iskender - Nisan 16, 2011, 03:40:57 ös

24. soru

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: iskender - Nisan 16, 2011, 05:11:45 ös

34. soru

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: proble_m - Mayıs 02, 2011, 09:26:03 ös

32.Soru

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: iskender - Mayıs 06, 2011, 07:45:35 ös

36. soru

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: proble_m - Mayıs 09, 2011, 07:50:33 ös

Soru 10

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 10, 2011, 01:29:54 ös

çözüm-5:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 10, 2011, 01:55:08 ös

çözüm-9:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 10, 2011, 02:10:29 ös

çözüm-21:

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Mayıs 10, 2011, 06:55:21 ös

 2011 Tübitak Lise Matematik Olimpiyat Soruları'nın tamamı GEOMANİA  da çözülmüştür. Yardımlarını esirgemeyen matematik severlere teşekkür ederiz ...

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: FEYZULLAH UÇAR - Mayıs 30, 2011, 12:52:23 öö

27-2

Başlık: Ynt: 2011 Lise Matematik Olimpiyat Soruları
Gönderen: geo - Şubat 02, 2013, 11:25:38 öö

Çözüm 12:
50.100=5000 adet mesaj var.
1000 kişi arasında tek yönlü C(100,2) = 4950 (100 nokta kaç doğru parçası belirtir) mesaj var.
En az 5000-4950=50 adet çift karşılıklı mesajlaştı.