19.ulusal (2011) matematik olimpiyatı 1.aşama soruları

[saladin]

Çözüm 20

[idensu]

33 soruda bir birim küre diyor ancak yanıtlar pi ye bağlı değil. yanıtın Pi den bağımsız çıkma şansı olduğunu sanmıyorum. Bir yerde hatalı mı düşünüyorum acaba soru mu hatalı?

[proble_m]

33 soruda bir birim küre diyor ancak yanıtlar pi ye bağlı değil. yanıtın Pi den bağımsız çıkma şansı olduğunu sanmıyorum. Bir yerde hatalı mı düşünüyorum acaba soru mu hatalı?

Birim küreden ben hacmi 1 br³ olan küreyi anlıyorum. Bu şekilde ilk uğraştığımda cevabı 8/27 bulmuştum. Ama cevap 1/3 diyordu, bir daha bakma fırsatım olmadı..

Ekte Cabri3D ile görsellik sağlayabilirsiniz.

1-bilgisayarınızda Cabri3D dosyalarını explorer/firefox gibi tarayıcılarda açmak için eklenti yoksa:
http://download.cabri.com/data/cabri3d/212/Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe
adresinden indirip kurun.
2-rar dosyası içindeki explorer simgeli dosyayı açın.
3- eklenti uyarısı alırsanız, onaylayın.
4-Mouse un sağ tuşuna basılı tutarak şekli döndürün..

[FEYZULLAH UÇAR]

11.soru.... ilk tuz..

[idensu]

33 soruda bir birim küre diyor ancak yanıtlar pi ye bağlı değil. yanıtın Pi den bağımsız çıkma şansı olduğunu sanmıyorum. Bir yerde hatalı mı düşünüyorum acaba soru mu hatalı?

Birim küreden ben hacmi 1 br³ olan küreyi anlıyorum. Bu şekilde ilk uğraştığımda cevabı 8/27 bulmuştum. Ama cevap 1/3 diyordu, bir daha bakma fırsatım olmadı..

Ekte Cabri3D ile görsellik sağlayabilirsiniz.

1-bilgisayarınızda Cabri3D dosyalarını explorer/firefox gibi tarayıcılarda açmak için eklenti yoksa:
http://download.cabri.com/data/cabri3d/212/Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe
adresinden indirip kurun.
2-rar dosyası içindeki explorer simgeli dosyayı açın.
3- eklenti uyarısı alırsanız, onaylayın.
4-Mouse un sağ tuşuna basılı tutarak şekli döndürün..

Sizin ne anladığınızı bilmiyorum ama mathworld  de tanım böyle demiyor.
http://mathworld.wolfram.com/UnitSphere.html

[Lokman Gökçe]

33. soru için:

birim çember denince r = 1 yarıçaplı çemberi çiziyoruz. Burada da ilk aklıma gelen R = 1 yarıçaplı küre olmuştu. neyse..ben hepinizin dikkatini çekecek başka bir noktadan söz edecektim.

yanlış hatırlamıyorsam sorunun cevabı TÜBİTAK tarafında E seçeneği (HİÇBİRİ) olarak düzeltilmişti. (şu anda resmi sitede sorular ve cevaplar yoktur ama güncellenecek)

sonra aklımdan uçup gitmişti, size biraz geç haber verdim

Çözüm için İbrahim bey'in dediği gibi birim kürenin yarıçapını R = 1 alıyoruz. Aşağıda Barış Bey'in çizdiği şekildeki gibi büyük küreye içten teğet, dörtyüzlüye dıştan teğet olan olan küçük kürenin yarıçapı da r = 1/3 oluyor. Buna göre hacim = (4/81).pi br³ şeklinde buluruz. cevap E.

herhalde teğet kürenin yarıçapını sormak istemişler, sonra da yanlışlıkla hacim sorulmuş. Çünkü yarıçap sorulursa eski cevap anahtarına göre A seçeneğinde verildiği şekliyle r = 1/3 oluyor.

mesele anlaşılmıştır sanırım

[proble_m]

33 soruda bir birim küre diyor ancak yanıtlar pi ye bağlı değil. yanıtın Pi den bağımsız çıkma şansı olduğunu sanmıyorum. Bir yerde hatalı mı düşünüyorum acaba soru mu hatalı?

Birim küreden ben hacmi 1 br³ olan küreyi anlıyorum. Bu şekilde ilk uğraştığımda cevabı 8/27 bulmuştum. Ama cevap 1/3 diyordu, bir daha bakma fırsatım olmadı..

Ekte Cabri3D ile görsellik sağlayabilirsiniz.

1-bilgisayarınızda Cabri3D dosyalarını explorer/firefox gibi tarayıcılarda açmak için eklenti yoksa:
http://download.cabri.com/data/cabri3d/212/Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe
adresinden indirip kurun.
2-rar dosyası içindeki explorer simgeli dosyayı açın.
3- eklenti uyarısı alırsanız, onaylayın.
4-Mouse un sağ tuşuna basılı tutarak şekli döndürün..

Sizin ne anladığınızı bilmiyorum ama mathworld  de tanım böyle demiyor.
http://mathworld.wolfram.com/UnitSphere.html

Normalde yarıçapı 1 br olan küre anlaşılması gerekiyor, fakat hacim sorduğu için cevap şıkları uygun değil. Ben de bu nedenle hacim üzerinden düşünerek önceki dosyayı göndermiştim. Şunu farkettim, eğer en büyük hacimli kürenin yarıçap uzunluğunu sorsaydı, o zaman cevap 1/3 diyebiliyoruz. Soru cümlesinde "düzgün dörtyüzlünün bir yüzüne DIŞTAN teğet" geçtiği için, istenilen küre şekildeki gibi dörtyüzlünün dışında kalmalıdır.
Cevap E şıkkı oluyor. Lokman hocamın dediğine göre düzeltilecekmiş. Fakat yine de cevap şıklarında pi olmaması bu haliyle E şıkkına öğrenciyi çabuk yönlediren bir soru olacaktır. Aslında yarıçap sorulması planlandığı anlaşılıyor.
3 boyutlu görsel için ekte Cabri3D dosyası mevcut...

[Lokman Gökçe]

problem 4'ün benzeri geomania olimpiyat denemeleri 1'de de verilmişti. oradan da okuyabilirsiniz...

çözüm 4:

[Lokman Gökçe]

problem 8 in çözümüde fikir verebilecek birkaç söz söyleyebiliriz:

seçilen n tane sayının mod 6 da kalanlarını yazalım. Örneğin n=10 elemanlı {6,12,18,24,30,1,7,13,19,25} kümesine bakalım. Kalanlar {0,0,0,0,0,1,1,1,1,1} dir. Buradan seçilen 6 sayının kalanlarının toplamı mod6 da en az 1, en fazla 5 olabilmektedir. Yani 10 elemana sahip her kümeden toplamları 6 ile bölünebilecek şekilde 6 sayı seçmek mümkün olmayabilir.

demek ki n > 10 olmak zorundadır. Fakat buraya kadar yaptıklarımızla en küçük n değeri 11 dir demek için de erkendir. {0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,4} şeklinde 11 elemanlı bir kümeden {1,1,4,0,0,0} şeklinde 6 eleman seçmek mümkündür. Bunun gibi, 11 elemalı bir kümede 0,1,2,3,4,5 kalanları nasıl dağılırsa dağılsın daima 6 elemanın seçilebileceği gösterilmelidir. Bunu ispatlamak için güvercin yuvası prensibi işe yarayacak gibi duruyor. düşünelim, çözümün bu adımını tamamlarsam gönderirim

[Lokman Gökçe]

Çözüm 12: öğrencileri 1,2,3,...,100 diye numaralandırıp daire etrafına sıralayalım.

1 numaralı öğrenci 2,3,4,...,51 numaralı öğrencilere mesaj çekmiş olsun.
2 numaralı öğrenci 1 e mesaj çekmesin ve 3,4,5,..,52 numaralı öğrencilere mesaj çeksin.
3 numaralı öğrenci 1 ve 2 ye mesaj çekmesin, 4,5,6,...,53 numaralı öğrencilere mesaj çeksin. bu şekilde dairesel devam edelim.
50 numaralı öğrenci 51,52,...,100 e mesaj göndersin.
51 numaralı öğrenci zorunlu olarak öncekilerden en az birinin mesajına cvp vermek durumundadır. yine dairesel biçimde 52,53,...,100,1 numaralı öğrencilere mesaj çeksin.,
52 numaralı öğrenci öncekilerden en az birine mesaj çekmek zorundadır. 53,54,...,100,1,2 kişilerine mesaj çekmiş olsun.
bu şekilde devam edersek 100 numaralı öğrencinin de mesajlaştığı çektiği en az bir kişi olur. örneğin 1,2,3,..,50 numaralı öğrencilere mesaj çeksin.
en az durumda 50 kişi karşılıklı mesajlaşmış olur.
bizim örneğimizde (1, 51), (2, 52), (3, 53), ..., (50, 100) arasında mesajlaşma gerçekleşmiştir. Cevap C.

[Lokman Gökçe]

kolayca çözülebilecek bir ortalama eşitsizliği problemi ...

çözüm 15:

[Lokman Gökçe]

çözüm 16: en az n = 2 öbek için istenen işlemi yapmak mümkündür. Cevap E.

taşların ağırlıkları a₁≤ a₂≤ a₃≤ ... ≤ a₂₀₁₁ olsun.

a₁ taşını birinci öbeğe koyalım. Eğer a₂ taşının ağırlığı a₁ in iki katı ise bu a₂ taşını ikinci öbeğe koyalım. Eğer 2 katı değilse yine a₂  taşını a₁ ile aynı öbeğe koyalım. Sonra a₃ ile a₂ taşlarını kıyaslayalım. Eğer a₃ = 2.a₂ ise a₃ taşını a₂ nin olmadığı öbeğe koyalım. bu algoritma ile tüm taşları iki öbeğe ayırırız.

daha iyi anlaşılması için 13 taş durumunda iki örnek verelim

Örnek 1: ağırlıklar 1, 1, 2, 2, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 olsun. aynı ağılıklar varsa bunları aynı kümeye koyacağız. Öbekler {1,1,4,5,6,7} ve {2,2,2,3,8,9,10} biçiminde dağıtılabilir.

Örnek 2: ağırlıklar 2 nin kuvvetlerinden oluşsun: 1, 2, 2², 2³, ... , 2¹² olsun. Öbekler:
{1, 2², 2⁴, 2⁶, 2⁸, 2¹⁰, 2¹²} ve {2, 2³, 2⁵, 2⁷, 2⁹, 2¹¹} olarak düzenlenebilir.

[glaurung]

çözüm 31

soruda i , j , k tamsayı diyor. tamsayılar için baktığımızda 77yi sağlayan değer yok galiba. soru hatalı olabilir.

[Lokman Gökçe]

soruda i , j , k tamsayı diyor. tamsayılar için baktığımızda 77yi sağlayan değer yok galiba. soru hatalı olabilir.

güzel bir noktaya değindiniz, teşekkür ederiz. Sağlayan değer olmasaydı, soru hatalı olurdu dediğiniz gibi. 21 + 27 + 29 = 77 ve 21²+27²+29²=2011 olmaktadır. maksimum değer gerçekten 77 dir.

[Lokman Gökçe]

değerli arkadaşım Kurbani Kaya bey'in çözümünü düzenleyerek gönderiyorum.

çözüm 18: