Kiepert Noktası

[AhmetG]

Teorem:
Bir ABC üçgenin kenarları üzerinde alınan birbirine benzer olan ikizkenar üçgenlerin tepe noktalarıyla üçgenin karşı köşeleriyle birleşimleri tek bir noktada kesişir.
İspatlayınız.

[AhmetG]

İspat:
Bir $ABC$ üçgeninin kenarlarına çizilen benzer ikizkenar üçgenlerin tepe noktalarını karşı köşelerle birleştiren doğruların tek bir noktada (Kiepert Noktası) kesiştiğini gösteren teoremin ispatını aşağıdaki dosyadan inceleyebilirsiniz. Bu teorem sayesinde (Birinci ve İkinci Fermat Noktası, Napolyon Noktası, Vecten Noktası ,Ağırlık Merkezi ve Diklik Merkezi) gibi birçok noktadaş doğrunun aslında Kiepert noktasının farklı taban açıları ($\theta$) için ortaya çıkan özel durumları olduğunu ve tek bir genel ispat çerçevesinde toplanabildiğini görebiliriz.

Dosya:https://drive.google.com/file/d/1j7zP1gu-r5ce8pIG7Sj3zJr_utXzHR34/view?usp=sharing

[geo]

$ABC$ üçgeninde $A'$, $B'$, $C'$ noktaları için ayrı ayrı Ceva Teoremi'nin trigonometrik halini uygulayalım.
$\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle BCA = \theta$ ve $\angle C'AB = \angle C'BA = \angle A'BC = \angle A'CB = \angle B'CA = \angle B'AC = \gamma$.

size(300);
import geomania;
real g = 25;
pair A = (2.6,7.6), B = (0,0), C = (10,0);
pair Ap = extension(B, rotate(C,B,-g), C, rotate(B,C,g));
pair Bp = extension(C, rotate(A,C,-g), A, rotate(C,A,g));
pair Cp = extension(A, rotate(B,A,-g), B, rotate(A,B,g));
pair K = extension(A, Ap, B, Bp);
fill(B--Ap--C--cycle, gray(0.9));
fill(C--Bp--A--cycle, gray(0.9));
fill(A--Cp--B--cycle, gray(0.9));
draw(B--Ap--C);
draw(C--Bp--A);
draw(A--Cp--B);
draw(A--B--C--cycle, linewidth(1));
draw(A--Ap, blue+dashed);
draw(B--Bp, blue+dashed);
draw(C--Cp, blue+dashed);
acicentik(Ap, B, C, 1);
acicentik(B, C, Ap, 1);
acicentik(Bp, C, A, 1);
acicentik(C, A, Bp, 1);
acicentik(Cp, A, B, 1);
acicentik(A, B, Cp, 1);
dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, W);
dot("$C$", C, E);
dot("$A'$", Ap, S);
dot("$B'$", Bp, NE);
dot("$C'$", Cp, NW);
dot("$K$", K, N, red);

Önce, üçgenin dışında bir nokta için Ceva Teoremi'nin trigonometrik halinin nasıl uygulandığını hatırlamak için, $A'$ noktası için uzun halini yazayım:
$$\dfrac {\sin \angle A'AC}{\sin \angle A'AB} \cdot \dfrac {\sin \angle A'BA}{\sin \angle A'BC} \cdot \dfrac {\sin \angle A'CB}{\sin \angle A'CA} = 1$$
Sonra bunları takip açısından kolay olsun diye $\alpha, \beta, \theta, \gamma$ olarak yazalım:
$$
\begin{array}{lcl}
\dfrac {\sin \angle A'AC}{\sin \angle A'AB} \cdot \dfrac {\sin (\beta + \gamma) }{\sin \gamma} \cdot \dfrac {\sin \gamma }{\sin (\theta + \gamma)} &=& 1 \\ \\

\dfrac {\sin \angle B'BA}{\sin \angle B'BC} \cdot \dfrac {\sin (\theta + \gamma) }{\sin \gamma} \cdot \dfrac {\sin \gamma }{\sin (\alpha + \gamma)} &=& 1 \\ \\

\dfrac {\sin \angle C'CB}{\sin \angle C'CA} \cdot \dfrac {\sin (\alpha + \gamma) }{\sin \gamma} \cdot \dfrac {\sin \gamma }{\sin (\beta + \gamma)} &=& 1
\end{array}$$
Bulduklarımızı taraf tarafa çarparsak:
$$\dfrac {\sin \angle A'AC}{\sin \angle A'AB} \cdot \dfrac {\sin \angle B'BA}{\sin \angle B'BC} \cdot \dfrac {\sin \angle C'CB}{\sin \angle C'CA} = 1$$
elde ederiz. Bu da, $AA'$, $BB'$, $CC'$ doğrularının noktadaş olduğu anlamına gelir.

[Lokman Gökçe]

Bu başlık altında $\measuredangle BCA' = \gamma$ yönlü açısının (yani pozitif veya negatif de gelebilir) değişimine bağlı $K$ noktasının geometrik yerinin bir hiperbol olduğunun kanıtını da verebilirsek güzel olur.

Kiepert noktasının ispatını forumun ilk yıllarında trigonometrik Ceva ile yaptığımı hatırlıyorum, ancak Kiepert hiperbolünün ispatını forumda sunmamıştık.

[AhmetG]

Kiepert hiperbolünün analitik bir ispatını hazırladım. θ değişirken K noktasının bir dik hiperbol üzerinde kaldığını gösteriyoruz.
https://drive.google.com/file/d/1TWHVL8HH0P2ABoy2UuX_phrNFQJNm5KU/view?usp=sharing

Yöntem kısaca şöyle: A(0,h), B(b,0), C(c,0) alıp t = tan θ diyoruz. AA' ve BB' doğrularının denklemleri t'de doğrusal çıkıyor. İkisinden t'yi yok edince K'nın sağladığı bir konik elde ediliyor. Bu koniğin x² ve y² katsayıları zıt işaretli olduğundan dik hiperbol olduğu, çeşitkenar üçgende de dejenere olmadığı (iki doğruya ayrışmadığı) gösteriliyor. Ayrıca ikizkenar ve eşkenar durumları ayrıca ele alınıyor. Tam ispat dosyasına linkten ulaşabilirsiniz.

Bu arada foruma dosya (png,ggb,pdf vs.) ekleme konusunda sıkıntım devam ediyor. Bu yüzden link olarak paylaşıyorum.