Evet, k = 8 için karşı örnek var.
k çift iken köşeler iki sınıfa ayrılıyor ve sınıflar arasındaki kayma serbest kalıyor. Bu kayma irrasyonel olabiliyor. Örneği bilgisayarla tarayarak buldum.
Köşeler birim çember üzerinde; derece cinsinden konumları (çember sırasıyla):
V1 = 0°, V2 = x, V3 = 36°, V4 = 84° + x, V5 = 168°, V6 = 276° + x, V7 = 312°, V8 = 312° + x
Burada x = arccos(1/4) − 72° ≈ 3,5225°. cos(72° + x) = 1/4 olduğundan x rasyonel bir açı değil, yani köşeler hiçbir düzgün çokgenin köşeleri değil.
P noktası ≈ (0,6545; −0,2676).
Kontrol: P çokgenin içinde, merkez değil ve hiçbir köşegen üzerinde değil. P’den köşelere giden 8 doğru P’de kesişiyor (sayısal olarak doğruladım). Köşelerdeki bütün açılar 6°’nin katı (30°, 126°, 48°, 114°, …).
Aynı yapıda k = 10 da var. Bilgisayarla N ≤ 78'i taradım, en çok 10 çıktı. Gerçek üst sınırı bilmiyorum.
Yani bu durumda sorunun bir cevabı olması için çokgenin köşelerinin, n-kenarlı bir düzgün çokgenin köşelerinden seçilmesi kısıtlamasını veya bu çokgenin kenar sayısısın tek sayı olma kısıtlamasını koymamız gerekiyor.
Düzeltilmiş Problem:
Bir düzgün n-genin köşelerinden bazıları seçilerek bir çokgen elde ediliyor (n istenen bir doğal sayı olabilir). Çokgenin içinde, çemberin merkezinden farklı bir P noktası alınıyor. P’den her köşeye çizilen doğru, o köşedeki iki kenarla derece cinsinden rasyonel açılar yapıyor ve P hiçbir köşegenin üzerinde değil. Çokgenin en fazla kaç kenarı olabilir? Cevap: 7.
