Fonksiyonun Görüntü Kümesi

[Lokman Gökçe]

Problem: $f: \mathbb{R}-\{-3,3\}\to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{1}{9-x^2}$ biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?


$
\textbf{a)}\ \mathbb{R}
\qquad\textbf{b)}\ \mathbb{R} - \{0\}
\qquad\textbf{c)}\ \left[ \frac{1}{9}, \infty \right)
\qquad\textbf{d)}\ ( -\infty , 0) \cup \left[ \frac{1}{9}, \infty \right)
\qquad\textbf{e)}\ ( -\infty , 0)
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$


Çözüm: Öncelikle $\displaystyle{\lim_{x\to 3^+}f(x) = -\infty}$ ve $\displaystyle{\lim_{x\to 3^-}f(x) = \infty}$ olduğunu gözlemleyelim. Bu bize $f(x)$ değerlerinin çok büyük ve çok küçük sayıları alabileceğini söyler. Ancak, $f(x)$ değerlerinin alamayacağı gerçel sayılar da olabilir.

$|x|<3$ için $x^2 = |x|^2<9$ olduğundan $9\geq 9-x^2>0$  olur. Bu eşitsizlikte çarpımsal ters alırsak $\dfrac{1}{9}\leq f(x) < \infty$ elde edilir.

$|x|>3$ için $x^2 = |x|^2>9$ olduğundan $-\infty < 9-x^2<0$ olur. Bu eşitsizlikte çarpımsal ters alırsak $ 0 > f(x) > - \infty$ elde edilir.

Böylece $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi $( -\infty , 0) \cup \left[ \frac{1}{9}, \infty \right)$ olarak elde edilir.