Üçgen içerisinde P Noktası, Model 4.4

[geo]

$ABC$ üçgeni içerisinde $CA=CP$, $\angle ACP =2\angle BCP$ ve $\angle BPC = 150^\circ$ olacak şekilde $P$ noktası alınıyor. $\angle BAP = 30^\circ$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$P$ nin $BC$ ye göre simetriği $Q$ olsun.
$\angle PCQ = \angle ACP$, $CA=CP = CQ$ olduğu için $AP=PQ$, $\angle BQC = \angle BPC = 150^\circ$, $BP=BQ$ ve $\angle BQP = 60^\circ + t$.
$BQR$ eşkenar üçgenini $\angle PQR = 60^\circ + (60^\circ + t) = 120^\circ + t$ olacak şekilde kuralım.
$BP=BQ=BR$ olduğu için $PQR$ üçgeninin çevrel merkezi $B$ dir.
Bu durumda $\angle RPQ = \dfrac {\angle RBQ}{2} = 30^\circ$ olur.
$\angle APB = 360^\circ - (90^\circ - t) - 150^\circ = 120^\circ + t$.
$AP=PQ$ ve $PB=QR$ olduğu için $\triangle APB \cong \triangle PQR$. O halde $\angle BAP = \angle RPQ = 30^\circ$.