Üçgen İçinde P Noktası, Model3.3

[AhmetG]

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $P$ noktası alınmıştır. Verilenlere göre açı ölçüleri şu şekildedir:

* $(\angle PAC) = 10^\circ$
* $(\angle PCA) = 10^\circ$
* $(\angle BCP) = 20^\circ$
* $(\angle PBC) = 40^\circ$

Buna göre, $m(\angle ABP)=70^\circ$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$10^\circ - 10^\circ - 20^\circ - 40^\circ$ sorusu, model bulucuya göre Model 3.3 ya da Model 4.1 e aittir.


Model 4.1'e göre bir çözüm verelim:

$\angle BCP = t$, $\angle CBP = 2t$ ve $\angle CAP = \angle ACP = 30^\circ - t$ ise $\angle ABP = 90^\circ - t$ dir.

$t=20^\circ$ için soru $10^\circ - 10^\circ - 20^\circ - 40^\circ$ sorusuna döner.

Çözüm:
$CB$ nin uzantısı üzerinde $PC = PD$ olacak şekilde $D$ noktası alalım.
$\angle PDC = \angle PCD = t$ ve $\angle APD = 60^\circ$ olacaktır. Bu durumda, $\triangle APD$ eşkenar ve $\triangle BPD$ ikizkenardır. $PADB$ bir deltoid olacağı için $\angle DBA = \angle ABP = \dfrac {180^\circ - \angle CBP}{2} = 90^\circ - t$ dir.

[geo]

Model 3.3:

$\angle ABP = t$, $\angle CBP = 30^\circ + t$, $\angle 60^\circ - 4t$ ve $\angle ABP = 30^\circ - 2t$ ise $\angle CAP = 60^\circ + t$ olduğunu gösteriniz.


Çözüm:

$B$ nin $CP$ ye göre simetriği $D$ olsun.
$\angle BDP = 3t$,  $\angle CDP = 30^\circ + t$, $\angle ACD = 30^\circ - 2t$.

$\triangle BCD$ üçgeninde $A$ noktasına odaklanalım.
$\angle DBA = 2t = a$, $\angle ABC = 30^\circ + 2t = 30^\circ + a$, $\angle ACB = 90^\circ - 6t = 90^\circ - 3a$, $\angle ACD = 30^\circ - 2t = 30^\circ - a$.
Bu Model 1.6 problemine denktir.
O halde, $\angle BDA = 2a = 4t$ ve $\angle PDA = \angle ABP = t$ dir. Bu da $B,D,A,P$ nin çembersel olduğu anlamına gelir, yani $\angle BAP = BDP = 3t$ ve $\angle CAP = 60^\circ + t$ dir.