Model Üçgen P Noktası Model 3.1

[AhmetG]

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $P$ noktası alınmıştır.

Oluşan açılar şu şekildedir:
* $m(\widehat{BAP}) = 30^\circ$
* $m(\widehat{PAC}) = 20^\circ$
* $m(\widehat{ABP}) = 10^\circ$
* $m(\widehat{PBC}) = 10^\circ$

Yukarıdaki verilere göre, $m(\widehat{BCP}) = x$ kaç derecedir?

[geo]

https://geomania.org/forum/index.php?action=model-bulucu#10,10,30,20

Buna göre, soru Model 3.1 ya da Model 4.3'e ait.

Sizin sorunuzdaki oryantasyona göre çözüm tam olarak bu iletide verilmiştir. Çok basit kirişler dörtgeni operasyonları ile diğer çözümlere de geçiş yapılabilir.

[geo]

Model 3.1 için çözüm verelim:

$\angle BCP = 3\angle ACP = 3t$ ve $\angle CBP = 2\angle ABP = 60^\circ - 4t$ ise $\angle CAP = 30^\circ + t$ olduğunu gösteriniz.



Çözüm:

size(300);
pair B = (0,0), C = (6,0);
pair A = (1.041889, 1.804605);
pair P = (1.452235, 1.21857);
pair G = (A + B + C) / 3;

draw(A--B--C--cycle);
draw(P--A); draw(P--B); draw(P--C);

dot("$A$", A, unit(A-G));
dot("$B$", B, unit(B-G));
dot("$C$", C, unit(C-G));
dot("$P$", P, S);

// ---- Cozumun kirmizi ile gosterimi ----
pair D = (1.815207, 1.52314);   // BP nin uzantisi AC yi D de keser
pair I = (1.958111, 0.712694);  // BCD ucgeninin ic merkezi

label("$30^{\circ}-2t$", B + 1.15*dir(8), red);
draw(anglemark(P,B,A, 14, 17));
draw(anglemark(I, B, P, 14, 17), red);
draw(anglemark(C,B,I, 14, 17), red);

label("$2t$", C + 1.35*dir(175), red);
label("$t$", C + 2*dir(168), red);
label("$t$", C + 2*dir(163));



draw(anglemark(I,C,B, 35), red);
draw(anglemark(P,C,I, 60), red);
draw(anglemark(A,C,P, 60));


draw(B--I,red);
draw(P--D, red);   // BP uzantisi
draw(D--I, red);   // DI
draw(C--I, red);   // CI
draw(P--I, red);
dot("$D$", D, unit(D-G), red);
dot("$I$", I, S, red);
draw(anglemark(A,D,B, 7, 9, 11), red);
draw(anglemark(B,D,I, 7, 9, 11), red);
draw(anglemark(I,D,C, 7, 9, 11), red);

$BP$ nin uzantısı $AC$ yi $D$ de kessin. $\triangle BCD$ nin iç merkezi $I$ olsun.
$\angle ADB = \angle BDI = \angle CDI = 60^\circ$.
$\angle DCI = \angle BCI = 2t$ ve $\angle DCP = \angle ICP = t$.
$\triangle CDI$ üçgeninde; $CP$ iç açıortay, $DP$ dış açıortay olduğu için $P$ dış merkezdir. Bu durumda $\angle DIP = 30^\circ + t$ dir.

$\triangle DBA \cong \triangle DBI$ olduğu için $BADI$ bir deltoittir. $\angle DAP = \angle DIP = 30^\circ + t$ dir. $\blacksquare$