Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2026 Soru 6

[geo]

$a_1,a_2,a_3,\ldots$, hepsi $1$'den büyük olan pozitif tam sayılardan oluşan sonsuz bir dizi olsun. Her pozitif tam sayı $n$ için, $a_{n+1}$ sayısının, $a_n$'den büyük ve her $i=1,2,\ldots,n$ için $\gcd(a_{n+1},a_i)>1$ koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayı olduğunu varsayalım. Öyle pozitif tam sayılar $T$ ve $L$ bulunduğunu, öyle ki her pozitif tam sayı $n$ için
$$a_{n+T}=a_n+L$$
olduğunu kanıtlayınız.

(Burada $\gcd(x,y)$, $x$ ve $y$ pozitif tam sayılarının en büyük ortak bölenini göstermektedir.)