import geometry;
size(14cm);
defaultpen(fontsize(11pt));
real t=4;
// Noktalar
pair A=(0,0);
pair P=t*dir(10);
pair B=extension(
A,A+dir(30),
P,P+dir(60)
);
pair C=extension(
A,A+dir(0),
P,P+dir(-40)
);
// Kalemler
pen kenar=black+1.1bp;
pen ic=black+0.75bp;
pen verilen=black+0.8bp;
pen bulunan=red+0.9bp;
// Üçgen
draw(A--B--C--cycle,kenar);
// İç doğru parçaları
draw(A--P,ic);
draw(B--P,ic);
draw(C--P,ic);
// A köşesindeki 10 derecelik yay
draw(
A+0.43*dir(0)
--A+0.43*dir(2)
--A+0.43*dir(4)
--A+0.43*dir(6)
--A+0.43*dir(8)
--A+0.43*dir(10),
verilen
);
// A köşesindeki 20 derecelik yay
draw(
A+0.70*dir(10)
--A+0.70*dir(14)
--A+0.70*dir(18)
--A+0.70*dir(22)
--A+0.70*dir(26)
--A+0.70*dir(30),
verilen
);
// B köşesindeki 30 derecelik yay
draw(
B+0.43*dir(210)
--B+0.43*dir(215)
--B+0.43*dir(220)
--B+0.43*dir(225)
--B+0.43*dir(230)
--B+0.43*dir(235)
--B+0.43*dir(240),
verilen
);
// B köşesindeki 20 derecelik yay
draw(
B+0.70*dir(240)
--B+0.70*dir(244)
--B+0.70*dir(248)
--B+0.70*dir(252)
--B+0.70*dir(256)
--B+0.70*dir(260),
bulunan
);
// C köşesindeki 60 derecelik yay
draw(
C+0.40*dir(80)
--C+0.40*dir(90)
--C+0.40*dir(100)
--C+0.40*dir(110)
--C+0.40*dir(120)
--C+0.40*dir(130)
--C+0.40*dir(140),
bulunan
);
// C köşesindeki 40 derecelik yay
draw(
C+0.68*dir(140)
--C+0.68*dir(148)
--C+0.68*dir(156)
--C+0.68*dir(164)
--C+0.68*dir(172)
--C+0.68*dir(180),
verilen
);
// Noktalar ve adları
dot("$A$",A,SW);
dot("$B$",B,N);
dot("$C$",C,SE);
dot("$P$",P,NW);
// Açı etiketleri
label("$10^\circ$",A+0.66*dir(5),S);
label("$20^\circ$",A+0.94*dir(20),NW);
label("$30^\circ$",B+0.68*dir(225),SW);
label("$20^\circ$",B+0.94*dir(250),E,bulunan);
label("$60^\circ$",C+0.62*dir(110),NE,bulunan);
label("$40^\circ$",C+0.93*dir(160),NW);
// Sonuç
label(
"$\angle PBC=20^\circ$",
(A+C)/2+(0,-0.80),
S,
bulunan
);
Çözüm
$x=\angle PBC$ olsun.
$ABP$ üçgeninde açıların toplamından
$\angle APB=180^\circ-20^\circ-30^\circ=130^\circ$
bulunur.
$APC$ üçgeninde de
$\angle APC=180^\circ-10^\circ-40^\circ=130^\circ$
bulunur.
$P$ noktasının çevresindeki açıların toplamı $360^\circ$ olduğundan
$\angle BPC=360^\circ-130^\circ-130^\circ=100^\circ$
olur.
Buna göre $BPC$ üçgeninde
$\angle PCB=180^\circ-100^\circ-x=80^\circ-x$
bulunur.
Şimdi $\lvert BP\rvert/\lvert PC\rvert$ oranını hesaplayalım.
$ABP$ üçgeninde sinüs teoreminden
$\frac{\lvert BP\rvert}{\lvert AP\rvert}=\frac{\sin(20^\circ)}{\sin(30^\circ)}$
elde edilir.
$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ olduğundan
$\frac{\lvert BP\rvert}{\lvert AP\rvert}=2\sin(20^\circ)$
olur.
$APC$ üçgeninde sinüs teoreminden
$\frac{\lvert PC\rvert}{\lvert AP\rvert}=\frac{\sin(10^\circ)}{\sin(40^\circ)}$
elde edilir.
İlk oran ikinci orana bölünürse
$\frac{\lvert BP\rvert}{\lvert PC\rvert}=\frac{2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)}{\sin(10^\circ)}$
bulunur.
Şimdi bu ifadeyi adım adım düzenleyelim.
Genel olarak
$2\sin(\alpha)\sin(\beta)=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$
özdeşliği vardır.
Bu özdeşlik, kosinüsün toplam ve fark formüllerinden elde edilir:
$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)$
ve
$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$.
İkinci eşitlik birinci eşitlikten çıkarılırsa
$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin(\alpha)\sin(\beta)$
elde edilir.
Burada $\alpha=20^\circ$ ve $\beta=40^\circ$ alınırsa
$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\cos(-20^\circ)-\cos(60^\circ)$
olur.
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan $\cos(-20^\circ)=\cos(20^\circ)$ ve $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ olduğuna göre
$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\cos(20^\circ)-\frac{1}{2}$
bulunur.
Şimdi $\cos(20^\circ)$ ifadesini dönüştürelim.
$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ olduğundan $2\sin(30^\circ)=1$ olur. Bu nedenle
$\cos(20^\circ)=2\sin(30^\circ)\cos(20^\circ)$
yazılabilir.
Genel olarak
$2\sin(\alpha)\cos(\beta)=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$
özdeşliği vardır.
Bu özdeşlik, sinüsün toplam ve fark formüllerinden elde edilir:
$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$
ve
$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)$.
Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa
$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin(\alpha)\cos(\beta)$
elde edilir.
Burada $\alpha=30^\circ$ ve $\beta=20^\circ$ alınırsa
$2\sin(30^\circ)\cos(20^\circ)=\sin(50^\circ)+\sin(10^\circ)$
olur.
Dolayısıyla
$\cos(20^\circ)=\sin(50^\circ)+\sin(10^\circ)$
elde edilir.
Bunu önceki ifadede yerine yazarsak
$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\sin(10^\circ)+\sin(50^\circ)-\frac{1}{2}$
bulunur.
$\frac{1}{2}=\sin(30^\circ)$ olduğundan
$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\sin(10^\circ)+\sin(50^\circ)-\sin(30^\circ)$
yazılabilir.
Şimdi $\sin(50^\circ)-\sin(30^\circ)$ farkını dönüştürelim.
Genel olarak
$\sin(\alpha)-\sin(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$
özdeşliği vardır.
Bu özdeşlikte $\alpha=50^\circ$ ve $\beta=30^\circ$ alınırsa
$\sin(50^\circ)-\sin(30^\circ)=2\cos(40^\circ)\sin(10^\circ)$
elde edilir.
Böylece
$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\sin(10^\circ)+2\cos(40^\circ)\sin(10^\circ)$
olur.
Sağ tarafta $\sin(10^\circ)$ ortak çarpanına alınırsa
$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\sin(10^\circ)(1+2\cos(40^\circ))$
bulunur.
Her iki taraf $\sin(10^\circ)$ ile bölünürse
$\frac{2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)}{\sin(10^\circ)}=1+2\cos(40^\circ)$
elde edilir.
Şimdi $1+2\cos(40^\circ)$ ifadesinin $\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(20^\circ)}$ ifadesine eşit olduğunu gösterelim.
$\sin(60^\circ)=\sin(20^\circ+40^\circ)$ olduğundan, sinüsün toplam formülü kullanılırsa
$\sin(60^\circ)=\sin(20^\circ)\cos(40^\circ)+\cos(20^\circ)\sin(40^\circ)$
olur.
Ayrıca
$\sin(40^\circ)=\sin(20^\circ+20^\circ)$
ve sinüsün toplam formülünden
$\sin(40^\circ)=2\sin(20^\circ)\cos(20^\circ)$
elde edilir.
Bu ifade yerine yazılırsa
$\sin(60^\circ)=\sin(20^\circ)\cos(40^\circ)+2\sin(20^\circ)\cos^2(20^\circ)$
olur.
$\sin(20^\circ)$ ortak çarpanına alınırsa
$\sin(60^\circ)=\sin(20^\circ)(\cos(40^\circ)+2\cos^2(20^\circ))$
bulunur.
Şimdi $2\cos^2(20^\circ)$ ifadesini dönüştürelim.
Kosinüsün toplam formülünden
$\cos(40^\circ)=\cos(20^\circ+20^\circ)=\cos^2(20^\circ)-\sin^2(20^\circ)$
olur.
Ayrıca
$1=\cos^2(20^\circ)+\sin^2(20^\circ)$
eşitliği vardır.
Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa
$1+\cos(40^\circ)=2\cos^2(20^\circ)$
elde edilir.
Dolayısıyla
$\cos(40^\circ)+2\cos^2(20^\circ)=\cos(40^\circ)+1+\cos(40^\circ)$
ve buradan
$\cos(40^\circ)+2\cos^2(20^\circ)=1+2\cos(40^\circ)$
olur.
Böylece
$\sin(60^\circ)=\sin(20^\circ)(1+2\cos(40^\circ))$
elde edilir.
Her iki taraf $\sin(20^\circ)$ ile bölünürse
$1+2\cos(40^\circ)=\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(20^\circ)}$
bulunur.
Sonuç olarak
$\frac{\lvert BP\rvert}{\lvert PC\rvert}=\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(20^\circ)}$
elde edilir.
Öte yandan $BPC$ üçgeninde sinüs teoreminden
$\frac{\lvert BP\rvert}{\lvert PC\rvert}=\frac{\sin(80^\circ-x)}{\sin(x)}$
olur.
Bu nedenle
$\frac{\sin(80^\circ-x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(20^\circ)}$
eşitliği elde edilir.
$x=20^\circ$ alınırsa
$\frac{\sin(80^\circ-20^\circ)}{\sin(20^\circ)}=\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(20^\circ)}$
olur ve eşitlik sağlanır.
Ayrıca $0^\circ<x<80^\circ$ aralığında $x$ arttıkça $\sin(80^\circ-x)$ azalır ve $\sin(x)$ artar. Her iki ifade de pozitiftir. Bu nedenle
$\frac{\sin(80^\circ-x)}{\sin(x)}$
oranı bu aralıkta kesin olarak azalır. Dolayısıyla bulunan çözüm tektir.
Sonuç olarak
$\angle PBC=20^\circ$bulunur.
Böylece
$\angle PCB=60^\circ$
olur.
NOT: Kenarların sıralaması$ABC$ üçgeninin açıları
$\angle A=30^\circ$, $\angle B=50^\circ$ ve $\angle C=100^\circ$
olur.
$ABC$ üçgeninde $AB$ kenarı $100^\circ$ açısının, $AC$ kenarı ise $50^\circ$ açısının karşısındadır. Bu nedenle
$\lvert AB\rvert>\lvert AC\rvert$
olur.
$APC$ üçgeninde $AC$ kenarı $130^\circ$ açısının, $AP$ kenarı ise $40^\circ$ açısının karşısındadır. Bu nedenle
$\lvert AC\rvert>\lvert AP\rvert$
olur.
$AP$ ile $BC$ farklı üçgenlerde bulunduğu için bu iki uzunluk ayrıca karşılaştırılmalıdır.
$ABP$ üçgeninde sinüs teoreminden
$\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert AP\rvert}=\frac{\sin(130^\circ)}{\sin(30^\circ)}$
elde edilir.
$\sin(130^\circ)=\sin(50^\circ)$ ve $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ olduğundan
$\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert AP\rvert}=2\sin(50^\circ)$
olur.
$ABC$ üçgeninde sinüs teoreminden
$\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{\sin(30^\circ)}{\sin(100^\circ)}$
elde edilir.
$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ ve $\sin(100^\circ)=\sin(80^\circ)$ olduğundan
$\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{1}{2\sin(80^\circ)}$
olur.
Bu iki oran çarpılırsa
$\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AP\rvert}=\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AB\rvert}\cdot\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert AP\rvert}$
ve dolayısıyla
$\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AP\rvert}=\frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)}$
elde edilir.
$50^\circ<80^\circ<90^\circ$ olduğundan
$\sin(50^\circ)<\sin(80^\circ)$
olur.
Bu nedenle
$\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AP\rvert}<1$
ve buradan
$\lvert AP\rvert>\lvert BC\rvert$
elde edilir.
Son olarak $BPC$ üçgeninde açılar $100^\circ$, $60^\circ$ ve $20^\circ$ olur.
$BC$ kenarı $100^\circ$ açısının, $BP$ kenarı $60^\circ$ açısının ve $PC$ kenarı $20^\circ$ açısının karşısındadır. Dolayısıyla
$\lvert BC\rvert>\lvert BP\rvert>\lvert PC\rvert$
olur.
Bütün karşılaştırmalar birleştirilirse
$\lvert AB\rvert>\lvert AC\rvert>\lvert AP\rvert>\lvert BC\rvert>\lvert BP\rvert>\lvert PC\rvert$
elde edilir.
