Geniş açılı üçgen + çevrel çember + açı elemeli soru

[niratesbiadenroc1]

import geometry;
import olympiad;

size(9cm);

pair B = (0, 0);
pair C = (6, 0);
pair A = (6 - 3*sqrt(3), 3);
pair D = (B + C)/2;

pair O = (3, 6 - 3*sqrt(3));
real R = length(O - B);

draw(circle(O, R), blue + 1bp);
draw(A--B--C--cycle, black + 1.2bp);
draw(A--D, dashed);

draw(anglemark(A, C, B, 5));
label("$30^\circ$", C + 0.65*dir(165));

draw(pathticks(B--D, 1, 0.5, 1, 3));
draw(pathticks(D--C, 1, 0.5, 1, 3));

dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, SW);
dot("$C$", C, SE);
dot("$D$", D, S);

label("$6$", (A + B)/2, NW);
label("$6\sqrt{2}$", (B + C)/2, S);

label("Şekil ölçekli değildir.", (3, -1));

ABC üçgeninin çevrel çemberinin üzerinde A, B ve C noktaları bulunmaktadır. ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O, BC kenarının orta noktası ise D'dir. |AB| = 6 br, |BC| = 6$\sqrt{2}$ br, m(C) = 30$^{o}$dir. AD/OD oranını bulunuz. (Şekil ölçekli değildir.)

[Metin Can Aydemir]

$m(\widehat{ACB})=30^\circ$ olduğundan $m(\widehat{AOB})=60^\circ$'dir. Yani $AOB$ üçgeni eşkenar bir üçgendir ve çevrel çemberin yarıçapı $6$'dır. $OBC$ üçgeni de buradan $6-6-6\sqrt{2}$ üçgeni yani ikizkenar dik üçgen olarak bulunur, dolayısıyla $|OD|=3\sqrt{2}$'dir.

$|AD|$'yi bulmanın birden fazla yolu vardır. İlk akla gelen yolu kullanalım. $|AC|=x$ dersek, kenarortay teoreminden (veya Stewart teoreminden), $|AD|=\frac{x\sqrt{2}}{2}$ bulunur. Kosinüs teoreminden ise $$x^2-6x\sqrt{6}+36=0\implies x=3\sqrt{6}\pm3\sqrt{2}$$ bulunur ($B$'den dik indirilerek de bulunabilir, eğer dikme ayağı $[AC]$ üzerindeyse +, dışındaysa - işaretli sonuç bulunur).

Sonuç olarak $$|AD|=\frac{3\sqrt{6}\pm3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{3}\pm3$$ olarak bulunur. Sonuç olarak $$\frac{|AD|}{|OD|}=\frac{3\sqrt{3}\pm 3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$$ olarak bulunur.

Not: Eğer gözden kaçırdığım bir nokta yoksa, verilen koşulları sağlayan 2 adet $ABC$ üçgeni vardır, bu yüzden 2 farklı sonuç vardır.

[niratesbiadenroc1]

AC kenarının ABC üçgeninin en uzun kenarı olduğunu söylemeyi unutmuşum. 2|AD|$^{2}$=36+x$^{^{2}}$-$\left(6\sqrt2\right)^2$/2 ise |AD|=x/$\sqrt{2}$ 'dir.
(2|AD|$^{2}$=x$^{2}$+|AB|$^{2}$- |BC|$^{2}$/2) (Kenarortay teoreminden)

 Kosinüs teoremi uygularsak:
|AB|$^{2}=|AC|^{2}+|BC|^{2}-2|AC||BC|\cos 30^{o}$ ise 36=x$^{2}$+72-2(3$\sqrt{6}$x) 'ten

$\Delta$ formülü yardımıyla x = 3$\sqrt{6}$$\pm 3\sqrt{2}$ bulunur.
Dolayısıyıla sadece verilen bilgiler göz önüne alınırsa iki farklı ABC üçgeni olabilir.
Fakat unuttuğum AC'nin en uzun kenar olduğu şartı düşünülürse x =3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$ bulunur (x=3$\sqrt{6}-3\sqrt{2}$ incelenirse bu durumun AC'nin en küçük kenar olduğu durum olduğu anlaşılır. Bulduğumuz iki değerden birinin AC'nin üçgenin en uzun kenarı olduğu, diğer değerin AC'nin üçgenin en kısa kenarı olduğu düşünülürse AC kenarının ABC üçgeninin ortanca kenarı olması mümkün değildir. Soruda diğer bilgilerle birlikte böyle bir bilgi vermek sorunun yanlış olmasına neden olacaktı.). |AC|>|AB|,|BC| bilgisi ihmal edilirse:

|AD|/|OD| = ($\sqrt{6}$ $\pm $ $\sqrt{2}$)/2

Not: Sinüs teoreminden |BC|/$\sin (A)$ = |AB|/$\sin (C)$' dir.

 $\implies   $6$\sqrt{2}$/$\sin (A)$ = 6/$\sin (30^{o})$' dan
$\sin (A)$ =$\sqrt{2}$/2 bulunur. Buradan A açısı ya 135$^{o}$ ya da 45$^{o}$' dır. AC kenarının en uzun olduğu durumda  m(A)=45$^{o}$, AC kenarının en kısa olduğu durumda ise m(A)=135$^{o}$ olur.

[Metin Can Aydemir]

2|AD|$^{2}$=36+x$^{^{2}}$-$\left(6\sqrt2\right)^2$/2 ise |AD|=x/$\sqrt{2}$ 'dir.

İşlem hatasından dolayı $2|AD|^2=x^2$ bulacağıma $2|AD|^2=x^2+18$ bulmuşum, düzeltince sizin çözümüzle aynı sonuca varıyoruz.