Geniş açılı üçgen + çevrel çember + açı elemeli soru

[niratesbiadenroc1]

import geometry;
import olympiad;

size(9cm);

pair B = (0, 0);
pair C = (6, 0);
pair A = (6 - 3*sqrt(3), 3);
pair D = (B + C)/2;

pair O = (3, 6 - 3*sqrt(3));
real R = length(O - B);

draw(circle(O, R), blue + 1bp);
draw(A--B--C--cycle, black + 1.2bp);
draw(A--D, dashed);

draw(anglemark(A, C, B, 5));
label("$30^\circ$", C + 0.65*dir(165));

draw(pathticks(B--D, 1, 0.5, 1, 3));
draw(pathticks(D--C, 1, 0.5, 1, 3));

dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, SW);
dot("$C$", C, SE);
dot("$D$", D, S);

label("$6$", (A + B)/2, NW);
label("$6\sqrt{2}$", (B + C)/2, S);

label("Şekil ölçekli değildir.", (3, -1));

ABC üçgeninin çevrel çemberinin üzerinde A, B ve C noktaları bulunmaktadır. ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O, BC kenarının orta noktası ise D'dir. |AB| = 6 br, |BC| = 6$\sqrt{2}$ br, m(C) = 30$^{o}$dir. AD/OD oranını bulunuz. (Şekil ölçekli değildir.)

[Metin Can Aydemir]

$m(\widehat{ACB})=30^\circ$ olduğundan $m(\widehat{AOB})=60^\circ$'dir. Yani $AOB$ üçgeni eşkenar bir üçgendir ve çevrel çemberin yarıçapı $6$'dır. $OBC$ üçgeni de buradan $6-6-6\sqrt{2}$ üçgeni yani ikizkenar dik üçgen olarak bulunur, dolayısıyla $|OD|=3\sqrt{2}$'dir.

$|AD|$'yi bulmanın birden fazla yolu vardır. İlk akla gelen yolu kullanalım. $|AC|=x$ dersek, kenarortay teoreminden (veya Stewart teoreminden), $2|AD|^2=x^2+18$ bulunur. Kosinüs teoreminden ise $$x^2-6x\sqrt{6}+36=0\implies x=3\sqrt{6}\pm3\sqrt{2}$$ bulunur ($B$'den dik indirilerek de bulunabilir, eğer dikme ayağı $[AC]$ üzerindeyse +, dışındaysa - işaretli sonuç bulunur).

Sonuç olarak $$|AD|^2=\frac{x^2+18}{2}=3x\sqrt{6}-9=9(5\pm 2\sqrt{3})$$ ve $|AD|=\sqrt{5\pm 2\sqrt{3}}$ olarak bulunur. Sonuç olarak $$\frac{|AD|}{|OD|}=\frac{\sqrt{10\pm4\sqrt{3}}}{6}$$ olarak bulunur.

Not: Eğer gözden kaçırdığım bir nokta yoksa, verilen koşulları sağlayan 2 adet $ABC$ üçgeni vardır, bu yüzden 2 farklı sonuç vardır.