Gönderen Konu: 30-70-80 Üçgenin içinden alınan bir P noktası (Okunma sayısı 25 defa)

AhmetG · « : **Bugün**, 06:46:02 ös »

Bir ABC üçgeninin içinden alınan P noktasının köşelerle yaptığı açılar şu şekildedir. m(PAC)=30°, m(PCA)=20°, m(PBA)=10°, m(PBC)=20°. Buna göre
m(PAB)=?

Lokman Gökçe · « **Yanıtla #1 :** **Bugün**, 07:59:21 ös »

Ek çizimler denenerek geometrik çözümler de araştırılabilir. Ben sıkça yaptığım gibi, üçgen içinde alınan bir nokta için trigonometrik Ceva teoremini uygulayacağım.

Çözüm: $\angle PAB = x$ dersek üçgende iç açılar toplamından $\angle PCB= 100^\circ - x$ olur. Şimdi trigonometrik Ceva Teoremi'ni uygulayalım: $\displaystyle{\frac{\sin \angle BAP}{\sin \angle PAC} \cdot \frac{\sin \angle CBP}{\sin \angle PBA} \cdot \frac{\sin \angle ACP}{\sin \angle PCB} =1}$. Verilen açıları yerine yazarsak \[\frac{\sin x}{\sin 30^\circ} \cdot \frac{\sin 20^\circ}{\sin 10^\circ} \cdot \frac{\sin 20^\circ}{\sin(100^\circ-x)}=1\]
olur. $\sin 3\theta = 4\sin\theta \cdot \sin(60^\circ - \theta)\cdot \sin(60^\circ + \theta)$ ve $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cdot \cos \theta$ formüllerinden yararlanarak
\[\frac{\sin30^\circ\sin10^\circ}{\sin^2 20^\circ} = \frac{\sin40^\circ}{\sin60^\circ}\]
eşitliğini gösterebiliriz. Sıkça kullandığımız bir trigonometrik hile'den $\dfrac{\sin x}{\sin(100^\circ-x)}= \dfrac{\sin40^\circ}{\sin60^\circ}$ denkleminin tek çözümü $x=40^\circ$'dir.

Not: Trigonometrik Hile'nin başka uygulamaları için şu bağlantıları verebiliriz:

Geomania.Org Forumları

Haberler:

Gönderen Konu: 30-70-80 Üçgenin içinden alınan bir P noktası (Okunma sayısı 25 defa)

AhmetG

30-70-80 Üçgenin içinden alınan bir P noktası

Lokman Gökçe

Ynt: 30-70-80 Üçgenin içinden alınan bir P noktası