Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2026 Soru 31

[geo]

Bir $a_1, a_2, \ldots$ gerçel sayı dizisi, $a_1=1$ ve her $n\ge 1$ sayısı için
$$3na_{n+1}^2+(4n+4)a_n^2=(7n+3)a_na_{n+1}$$
eşitliğini sağlıyor. Buna göre, $a_{100}$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100 \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{1600}{27} \qquad \textbf{c)}\ \dfrac{729}{16} \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{1143}{32} \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Öncelikle hiçbir terim $0$ olamaz çünkü $a_n=0$ ise $4na_{n-1}^2=0$ olacağından $a_{n-1}$ de $0$ olacaktır, bu şekilde ilerlersek tüm terimler $0$ bulunur ama $a_1\neq 0$ olduğundan bu mümkün değildir. Dolayısıyla, $\frac{a_{n+1}}{a_n}=:b_n$ olarak tanımlayabiliriz ve $b_1=a_2$ olacaktır. Ana denklemde her tarafı $a_n^2$'e bölersek, $$3nb_n^2-(7n+3)b_n+(4n+4)=0$$ bulunur. Çarpanlarına ayırdığımızda $(3b_n-4)(nb_n-n-1)=0$ bulunur, yani $b_n=\frac{4}{3}$ veya $b_n=\frac{n+1}{n}$ bulunur. $n=1,2$ için $\frac{4}{3}$ daha küçüktür, $n\geq 3$ ise diğeri daha küçüktür.

$a_{100}$ değerini hesaplarsak, $$a_{100}=b_{99}b_{98}\cdots b_1$$ olacağından en küçük değer için $b_n$'leri en küçük seçmeliyiz. Bu durumda $$b_1=b_2=\frac{4}{3},\qquad b_n=\frac{n+1}{n},\qquad n\geq 3$$ seçilmelidir. Bu durumda $$a_{100}=\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdots \frac{100}{99}=\frac{1600}{27}$$ bulunur.