Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2026 Soru 30

[geo]

$p^2+q+5$ ve $21p-q^2+19$ sayılarının her ikisinin de asal sayı olmasını sağlayan kaç farklı $(p,q)$ sıralı asal sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$p=2$ ise ikililer $(q+9,61-q^2)$ olacaktır. Teklik çiftlikten $q=2$ için kontrol edersek asal olmaz. Benzer şekilde $q=2$ için de teklik çiftlikten çözüm olmadığını görürüz.

$p=3$ ise $(q+14,82-q^2)$ ikililerinde mod $3$'te incelersek, $q=3$ olması gerektiğini görürüz. Eğer $q=3$ ise de $p^2+8$'i mod $3$'te incelersek yine $p=3$ bulunur. Buradan $(p,q)=(3,3)$ çözümü elde edilir.

Şimdi $p,q\geq 5$ olduğunu kabul edelim. Mod $3$'te incelersek, $$21p-q^2+19\equiv 0-1+19\equiv 0\pmod{3}$$ olacağından $21p-q^2+19=3$'dür yani $$21p=q^2-16=(q-4)(q+4)$$ olacaktır. $21p$'yi iki pozitif sayının çarpımı olarak yazarsak, $$(q+4,q-4)=(21p,1),(7p,3),(3p,7),(p,21),(21,p),(7,3p),(3,7p),(1,21p)$$ olabileceğinden $(p,q)=(5,11),(13,17)$ çözümlerinin bulunur.

Tüm ikililer $(p,q)=(3,3),(5,11),(13,17)$ olarak bulunur.