Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2026 Soru 23

[geo]

$mn>34m+123n$ eşitsizliğini sağlayan $(m,n)$ pozitif tam sayı ikililerine güzel ikili diyelim. $K$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her güzel ikilinin $K$ sayısından küçük olmayan en az bir elemanı varsa, $K$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 89 \qquad \textbf{b)}\ 123 \qquad \textbf{c)}\ 140 \qquad \textbf{d)}\ 158 \qquad \textbf{e)}\ 162$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen eşitsizliği düzenlersek, $$(m-123)(n-34)=mn-34m-12n+34\cdot 123>34\cdot 123$$ ile denk olduğu görülür. Biz bu eşitliği sağlayan her $(m,n)$ için $m$ veya $n$'den en az birinin $K$'dan büyük olmasını istiyoruz. Eğer $m,n\leq 157$ olursa $$34\cdot 123=(157-123)(157-34)\geq (m-123)(n-34)>123\cdot 34$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla her zaman ya $m\geq 158$ ya da $n\geq 158$ olmalıdır. Ayrıca $(158,158)$ bir güzel ikili olduğundan $K$'nın alabileceği en büyük değer $158$'dir.