Cevap: $\boxed{C}$
$m$ ve $n$ birbirlerinden bağımsız olduğundan $m+n$'nin en büyük değeri $m$ ve $n$ ayrı ayrı en büyükken elde edilir.
$m$ sayısı $a,b\mid m+22$ olmak üzere $a+b$ olarak yazılabilsin, $n$ ise $c,d\mid n+24$ olmak üzere $c+d$ olarak yazılabilsin. Genelliği bozmadan $a\leq b$ ve $c\leq d$ kabul edebiliriz.
İlk önce $a=b$ veya $c=d$ olduğunda ne olduğuna bakalım. $a=b$ ise $a=b=\frac{m}{2}$'dir ve $\frac{m}{2}\mid m+22$ olacağından $\frac{m}{2}\mid 22$ olacaktır ve $m=2,4,22,44$ olabileceği görülür. Benzer şekilde $c=d$ ise de $\frac{n}{2}\mid n+24$ olacağından $n=2,4,6,8,12,16,24,48$ olabilir.
Şimdi $a<b$ ve $c<d$ durumlarını inceleyelim. $a\leq \frac{m+22}{3}$ ve $b\leq \frac{m+22}{2}$ olacağından $$m=a+b\leq \frac{5(m+22)}{6}$$ elde edilir. Yani $m\leq 110$'dur. Aynı şekilde ile $n\leq 120$ bulunur. Eğer test edersek, gerçekten de $m=110$'un $(110=44+66)$ ve $n=120$'nin $(120=48+72)$ istenileni sağladığı görülebilir. Dolayısıyla alabilecekleri en büyük değerler bunlardır. Sonuç olarak $m+n=230$ bulunur.
