Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2026 Soru 19

[geo]

$$x^2-2x+\dfrac{16}{x^2}-\dfrac{8}{x}=7$$
denklemini sağlayan farklı $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$t=x+\frac{4}{x}$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $x^2+\frac{16}{x^2}=t^2-8$ olacaktır. Yani $$7=x^2-2x+\frac{16}{x^2}-\frac{8}{x}=t^2-2t-8$$ bulunur. $$t^2-2t-15=(t+3)(t-5)=0$$ olduğundan $x+\frac{4}{x}=-3$ veya $5$ olacaktır.

$x+\frac{4}{x}=-3$ ise $x^2+3x+4=0$ bulunur ancak $\Delta<0$ olduğundan çözümü yoktur.

$x+\frac{4}{x}=5$ ise $x^2-5x+4=0$ bulunur ve $\Delta>0$ olduğundan iki farklı kökü vardır. Bu köklerin toplamı Vieta formüllerinden $5$ olarak bulunur.