Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2026 Soru 14

[geo]

$3^{26p-20}-2^{20p-26}$ sayısının $p$ ile bölünmesini sağlayan kaç farklı $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$p\geq 2$ olduğundan terimler tamsayıdır. $p=2$ veya $p=3$ olduğunda sayının $p$ ile bölünmediği görülebilir. Yani $p\geq 5$ kabul edebiliriz. Bu durumda  $A:=3^{26p-20}-2^{20p-26}$ olarak tanımlayalım. $$2^6A\equiv 3^{26(p-1)}\cdot 6^6-2^{20p-20}\equiv 6^6-1\pmod{p}$$ bulunur. Yani $p\mid 6^6-1$ elde edilir. $$6^6-1=(6^3-1)(6^3+1)=(6-1)(6^2+6+1)(6+1)(6^2-6+1)=5\cdot 7\cdot 31\cdot 43$$ olduğundan $p=5,7,31,43$ olabilir.