Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2026 Soru 10

[geo]

$A$, $B$, $C$ rakamlar ve $\overline{A3B}$ ve $\overline{3C9}$ sayıları üç basamaklı sayılar olmak üzere, $\overline{A3B}$ ve $\overline{3C9}$ sayılarının farkı $55$ ile bölünüyorsa, $A+B+C$ toplamı kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad \textbf{b)}\ 1 \qquad \textbf{c)}\ 2 \qquad \textbf{d)}\ 3 \qquad \textbf{e)}\ 4$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Sayıları $100A+30+B$ ve $309+10C$ olarak yazarsak, $$100A-10C+B\equiv 279\equiv 4\pmod{55}$$ olarak bulunur. Eğer mod $5$'e düşersek, $B=4$ veya $B=9$ olması gerektiği görülür.

$B=4$ ise $100A-10C\equiv A+C\equiv 0\pmod{11}$ elde edilir. Bu da $1\leq A+C\leq 18$ olduğundan $A+C=11$ iken mümkündür. Dolayısıyla, $A+B+C=15$ elde edilir.

$B=9$ ise $100A-10C\equiv A+C\equiv 10\pmod{11}$ elde edilir. Aynı şekilde $A+C=10$ olmalıdır ve $A+B+C=19$ olarak bulunur.

$A+B+C$'nin alabileceği sadece iki değer vardır.