Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2026 Soru 07

[geo]

$x$ ve $y$ rasyonel sayıları $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{3+\sqrt{5}}$ denklemini sağlıyorsa, $x$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{10}{3} \qquad \textbf{c)}\ 4 \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{13}{4} \qquad \textbf{e)}\ \dfrac{8}{3}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Her tarafın karesini alırsak, $$x+y+2\sqrt{xy}=3+\sqrt{5}$$ elde edilir. $x$ ve $y$ rasyonel olduğundan $x+y=3$ ve $xy=\frac{5}{4}$ olacaktır. Vieta formüllerinden $x$ ve $y$, $$4t^2-12t+5=(2t-1)(2t-5)=0$$ denkleminin kökleridir. Dolayısıyla $x=\frac{1}{2}$ veya $\frac{5}{2}$ olabilir. İkisi de rasyonel olduğundan değerlerin toplamı $3$'dür.

Not: Aslında $x$ ve $y$ simetrik olduğundan $x+y=3$ direkt köklerin toplamını vermektedir ama köklerin bazıları rasyonel olmayabilir veya katlı kök olabilir. Bu yüzden incelemek lazım.