Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 31

[geo]

Bir $a_1,a_2,\ldots$ gerçel sayı dizisi $a_1=6$, $a_2=2028$ ve her $n\ge 3$ için $n(n+1)a_n=na_{n-1}-a_{n-2}$ olarak tanımlanıyor. Buna göre, $\dfrac{a_{2027}}{a_{2026}}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2} \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{2026}{2025} \qquad \textbf{c)}\ 2 \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{2026}{3} \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[ahmedsyldz]

$a_n = \frac{b_n}{(n+1)!}$ olarak tanımlayalım. Bu durumda verilen eşitlikten $\frac{b_n}{(n-1)!} = \frac{b_{n-1}}{(n-1)!} - \frac{b_{n-2}}{(n-1)!} => b_n = b_{n-1} - b_{n-2}$ ifadesi gelir. $b_1 = 12$ ve $b_2 = 2028.6$ olduğu bilindiğinden $b_3 = 1013.12$, $b_4 = -12$, $b_5 = -1014.12$, $b_6 = -1013.12$ ve $b_7 = 12$ olur. Bu durumda $b_n = b_{n \pmod 6}$ olduğu açıktır. O halde $b_{2027} = b_{5} = -1014.12$ ve $b_{2026} = b_4 = -12$ olur. Buradan $\frac{a_{2027}}{a_{2026}} = \frac{b_{2027}}{2028.b_{2026}} = \frac{1}{2}$ gelir.