Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 29

[geo]

$|AB|>|BC|$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninde $O_1$ noktası $[AB]$ kenarı üstünde ve $O_2$ noktası $[CD]$ kenarı üstünde olmak üzere, $O_1$ merkezli ve $B$ noktasından geçen çember ile $O_2$ merkezli ve $D$ noktasından geçen çember $[AC]$ doğru parçası üzerindeki $K$ ve $L$ noktalarında kesişiyor. $|O_1B|=|O_2D|=|KL|=2$ ise $|AO_1|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt{3}+1 \qquad \textbf{b)}\ \sqrt{5}+1 \qquad \textbf{c)}\ \sqrt{7}+1 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ \sqrt{11}+1$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {C}$

$O_2KL$ ve $O_1KL$ ücgenleri eşkenardır. $O_1O_2\cap AC=K,|LC|=b,|BC|=a,|AO_1|=x$ olsun. $A$ noktası iki çemberin kuvvet ekseni üzerinde olup iki çembere göre kuvvetleri eşittir ve buradan $a^2=x^2-4$ olur. $O_2KC$ üçgeninde pisagordan $(b+1)^2+3=x^2$ ve $ADC$ üçgeninde pisagordan $a^2+(x+2)^2=4(b+1)^2$ olup bu üç denklemden $2x^2-4x-12=0$ bulunup $x=\sqrt7+1$ olur.