Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 28

[geo]

Başlangıçta $33\times 34$ satranç tahtasının her birim karesine ya $0$ ya da $1$ sayısı, ortak kenar paylaşan herhangi iki birim karedeki sayılar farklı olacak şekilde yazılmıştır. Her işlemde ortak kenar paylaşan iki birim kare seçiliyor ve bu birim karelerdeki sayıların her biri, $1$ fazlasının $3$ ile bölümünden kalanla değiştiriliyor. En az kaç işlem sonucunda, başlangıçta $0$ yazılı tüm birim karelerde $1$ ve $1$ yazılı tüm birim karelerde $0$ yazan duruma ulaşılabilir?

$\textbf{a)}\ 561 \qquad \textbf{b)}\ 1056 \qquad \textbf{c)}\ 1122 \qquad \textbf{d)}\ 1156 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[AtakanCİCEK]

Cevap: C

$0$ sayılarının değiştirilebilmesi için yanlarında bulunan $1$ sayılarına da müdahale etmek zorunda kalıyoruz. Bu nedenle her $1$  sayısı tekrar $1$ haline dönebilmek için en az $2$ kez işleme girmek zorundadır. Tahtanın yarısı $1$ olduğu için en az $1122$ işlem yapılması gerektiğini görürüz. Bunun yapılabilir olduğunu gösterirsek ispat biter.

tüm sütunları üçlü şekilde $1,0,1$ ve $0,1,0$  şeklinde gruplara ayıralım.

$1,0,1$  olan grupta soldaki virgülün olduğu yere $2$ işlem sağdaki virgülün olduğu yere de $2$ işlem yaparsak $2-1-1$ -> $0-2-1$ -> $0,0,2$  -> $0,1,0$  haline geliyor.  toplamda $4$ işlem yapar.

$0,1,0$ olan grupta  her iki vürgülün olduğu yere de benzer şekilde $1$ işlem yaparsak $0,1,0$ -> $1,0,1$ haline geliyor. Toplamda $2$ işlem yapar.

Toplamda  $1-0-1$ ile başlayan sütunlarda $6$ tane $1-0-1$  ve $5$ tane $0-1-0$ bulunur. 
Toplamda  $0-1-0$ ile başlayan sütunlarda $5$ tane  $1-0-1$  ve $6$ tane $0-1-0$ bulunur.

Tahtamızda toplamda $17.6+17.5$ tane $1-0-1$ ve $17.5+17.6$ tane $0-1-0$ dizilimi bulunur. Her birini de gerekli işlem sayısıyla çarparsak $$187.4+187.2=1122$$ elde edilir.