Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 27

[geo]

Kaç farklı $p$ asal sayısı için, $P(20)=P(26)=p$ eşitliğini sağlayan ve en az bir tam sayı kökü bulunan tam sayı katsayılı bir $P$ polinomu vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

$Q(x)$ tam sayı katsayılı bir polinom olmak üzere $P(x)=Q(x)(x-20)(x-26)+p$ olup herhangi bir tam sayı kökü olması için $x_1$ tam sayısı için $-p=(x_1-20)(x_1-26)Q(x_1)$ olur. Bu durumda soldaki çarpanlardam biri ya $-1$ ya $1$ olmalıdır. Bu durumların her birinde diğer çarpanın mutlak değeri $7$ veya $5$ olup işarete göre $Q(x_1)$, $-1$ veya $1$ olacak şekilde belirlenir ve $p$'nin alabileceği $2$ değer vardır.