Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 25

[geo]

Bir $ABC$ dik üçgeninde $m(\widehat{ABC})=90^\circ$ olsun. $B$ köşesinden $[AC]$ kenarına inilen yükseklik ayağı $D$ ve $[AB]$ kenarının orta noktası $E$ olsun. $BD$ ile $CE$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $\dfrac{|BC|}{|BF|}=\dfrac{7}{2}$ ise $\dfrac{|CD|}{|AD|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{5}{2} \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{7}{2} \qquad \textbf{e)}\ 4$

[diktendik]

Yanıt: $\boxed{C}$

$AF\cap BC=K$ olsun. $F$ kenarortay üzerinde olduğundan $DK\parallel AB$ olup $DK\perp BC$ olur. Genelliği bozmadan uzunlukları $2$ ve $7$ alalım. $|DF|=a$ ve $|BK|=b$ olsun. $\triangle BDC$'de Öklitten $(a+2)^2=7b$ ve $\frac{|DK|}{|AB|}=\frac{|CK|}{|CB|}$ olduğundan $\frac{a}{2}=\frac{7-b}{7}$ olup ini denklemden $2a^2+57a-90=0=(2a-3)(a+30)$ ve $a=\frac{3}{2}$ olur. $\triangle {ABD}$'nde $EF$'ye göre manelaustan $\frac{|DC|}{|AC|}=\frac{a}{2}=\frac{3}{4}$ ve bizden istenen oran $3$ bulunur.

[geo]

$\angle ACB =\alpha$ olsun. $\dfrac{DC}{AD}=\dfrac{BC^2}{AB^2}=\cot^2 \alpha$.

$\angle BCF=\beta$ olsun.
$AB=BC\tan \alpha$, $BE=BC\tan \beta$, dolayısıyla $\tan \alpha = 2\tan \beta$.

$\angle BFC =90^\circ + \alpha - \beta$. $\triangle BFC$ de Sinüs Teoreminden $$\begin{array}{rcl}
\dfrac 72 &=& \dfrac {\sin (90^\circ + \alpha - \beta)}{\sin \beta} \\
&=& \dfrac{\cos (\beta - \alpha)}{\sin \beta} \\
&=& \dfrac{\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha }{\sin \beta}\\
&=& \dfrac {\cos \alpha}{\tan \beta} + \sin \alpha \\
&=& \dfrac {2\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} + \sin \alpha \\
&=& \dfrac {2 -\sin^2\alpha}{\sin \alpha} \,.\end{array}$$
$2\sin^2\alpha +7\sin\alpha-4=0$ denkleminden $\sin \alpha =\dfrac 12$.
Buradan da $\cot^2\alpha = 3$ elde edilir.

[geo]

$A$ dan geçen ve $BD$ ye paralel olan doğru, $CE$ yi $L$ de, $CB$ yi $M$ de kessin.
$BC:BE=MC:ML=7:2$. $ML=2k$, $MC=7k$.
$AL:BF=AE:EB=1$. $AL=2$.
$MAC$ dik üçgeninde Öklid'den $(2k+2)^2=(7k-7)7k$.
$4k^2+8k+4=49k^2-49k \Longrightarrow 45k^2-57k-4=(15k+1)(3k-4)=0$, $k=\dfrac 43$.
Buradan da $DC:AD=3$ elde edilir.