Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 24

[geo]

Başlangıçta bir masa üzerinde $N$ bilye içeren bir öbek bulunmaktadır. İki oyuncu sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu masa üzerinde en az iki bilye içeren tüm öbekleri istediği şekilde boş olmayan iki öbeğe ayırıyor. Sırası geldiğinde masa üzerinde en az iki bilye içeren öbek kalmayan oyuncu oyunu kaybediyor. Bu oyun $N=33, 50, 63, 120$ sayıları için birer kez oynanırsa, oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad \textbf{b)}\ 1 \qquad \textbf{c)}\ 2 \qquad \textbf{d)}\ 3 \qquad \textbf{e)}\ 4$

[AtakanCİCEK]

Cevap: D

Bu soruda oyunun ne zaman bittiğini dikkate almalıyız. Masada bulunan en büyük öbek $2^n-1$  formatında ise başlayan oyuncu oyunu kaybeder. Bunu gösterelim. Öncelikle $n=1$  ise ifademiz $1$  olduğu için barizdir. $n=3$ ise $2^n-1=7$ olur. Burada önemli olan $1.$ oyuncu böldükten sonra en büyük sayının $2^i-1$  formatında olamamasıdır ki bu da oynayan oyuncuyu  $1$ sayısı $2^i-1$ formunda olmasından dolayı kaybeden sayıyı almamasını garantiler. Mesela oyundaki sayı $2^x-1$ olsun. Ve  $2^i-1$ aynı formdaki en büyük sayı olsun. Bu durumda $2^x=2.2^i$  olur. Diğer taraftan en büyük sayı kabulümüzden dolayı diğer öbekteki sayı $s \leq 2^i-1$  olmalıdır. Bu da bize $s+2^i-1 \leq 2.2^i-2<2^x-1$  verir ki bu da bize $2^i-1$ formatında sayıyı bölen kişinin $2^i-1$ formatında en büyük sayı bırakamayacağını kanıtlamış olur. Benzer şekilde destemizde en büyük parça $2^x-1-a$ , $a \in \{1,2,3,....2^{x-1}-1\}$ sayı olsun. Bu durumda  desteyi $2^{x-1}-1$ ve $2^{x-1}-a$ şeklinde $2$ desteye bölmeyi garantileriz. $2^{x-1}-1$  en büyük sayı olduğu için hamleyi yapan kişi kaybedecektir.

Mesela $33$ için başlayan oyuncu $31$  ve $2$  şeklinde bölebilir. Başlayan kazanır

$50$ için $31$ ve $19$ şeklinde bölmek mümkündür. Başlayan kazanır.

$63=2^6-1$ olduğu için başlayan kaybeder.

$120$  yi $63$  ve $57$ şeklinde bölmek mümkündür. Başlayan kazanır.

Dolayısıyla başlayan oyuncu bu oyunlardan $3$  ünü doğru stratejiyle kazanır.