Cevap: $\boxed{C}$
Tahtadaki $12$ sayı $a_1\leq a_2\leq \cdots\leq a_{12}$ olsun. Herhangi bir $12$li için $t$'nin alabileceği en büyük değer $t=\min_{i}(a_{i+1}-a_i)$'dir. Dolayısıyla, biz bu $t$'nin sınırlarını arıyoruz. $j>i$ ise $a_j-a_i\geq t(j-i)$ olacaktır. Dolayısıyla, $a_j\geq a_1+t(j-1)\geq t(j-1)$ olacaktır. Her öğrencinin yazdığı sayıların indekslerin toplamı $S_1,S_2,S_3,S_4$ olsun. $S_1+S_2+S_3+S_4=1+2+\dots+12=78$ olduğundan en az bir tanesi $\frac{78}{4}=19.5$'dan büyük olmalıdır, yani en az birisinin indekslerinin toplamı en az $20$ olmalıdır.
Bu kişinin yazdığı sayılar $a_p,a_q,a_r$ olsun, $p+q+r\geq 20$'dir. Dolayısıyla, $$34=a_p+a_q+a_r\geq (p-1)t+(q-1)t+(r-1)t\geq 17t$$ olduğundan $2\geq t$'dir. Şimdi $t=2$ olabileceğini gösterelim. Bu örnek durum için çift tamsayıları kullanabiliriz (eşitlik durumunda ardışıklar arasındaki farkın olabildiğince çok kez $2$ olması gerektiğini tahmin ediyoruz). Öğrenciler $(2,6,26)$, $(0,14,20)$, $(4,12,18)$, $(8,10,16)$ seçilirse $t=2$ olabileceği görülür. Dolayısıyla $t$'nin en küçük değeri $2$'dir.
