Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 22

[geo]

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $f(n)$ ile
$$\prod_{k=1}^{n}(k^2-k+1)$$
sayısının farklı asal bölenlerinin sayısını gösterelim. $f(n)=n-2$ olmasını sağlayan kaç farklı $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad \textbf{b)}\ 5 \qquad \textbf{c)}\ 6 \qquad \textbf{d)}\ 7 \qquad \textbf{e)}\ 8$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

Öncelikle eğer bir terim herhangi bir $p$ asal sayısına bölünüyorsa bu $k^2-k+1\equiv 1\pmod p$ demektir en az bir adet $p$’den küçük çözümü vardır. Dolayısıyla bir asal sayı çarpıma en geç üst indis o asal sayı olduğunda girer. $f(n)<n-2$ olan bir $n$ olduğunu farz edelim. $k^2-k+1<k(k+1)$ olduğundan bu ifadede $k$’den büyük en fazla $1$ asal sayı olabilir. Zaten demin ifade ettiğimiz gibi $k$’ye kadar olan asal sayılar çarpıma daha önce dahil edildiği için yeni terim diziye en fazla $1$ yeni asal ekleyebilir. $n$ sayısı da arttığından demin kabul ettiğimiz $f(n)<n-2$’den sonra soruda istenen koşulu sağlayan tam sayı bulunamaz. Şimdi birkaç adet $n$ için $f(n)$’i hesaplayıp ilk kez $<n-2$ olduğu yerde duracağız. $f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,f(5)=3,f(6)=4$$,f(7)=5,f(8=6,f(9)=7,f(10)=7 $ dolayısıyla koşulu sağlayan tüm tam sayılar $4,5,6,7,8,9$’dur ve $5$ adettir.