Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 21

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$, $AI$ doğrusuna $I$ noktasında dik olan doğrunun $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarıyla kesişim noktaları sırasıyla $K$ ve $L$ olsun. $BI\cap AC=\{D\}$ ve $CI\cap AB=\{E\}$ olmak üzere, $\dfrac{|BK|}{|KE|}=\dfrac{7}{9}$ ve $\dfrac{|CL|}{|LD|}=3$ ise, $\dfrac{|IB|}{|IC|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{3} \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{1}{2} \qquad \textbf{c)}\ \dfrac{5}{7} \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{3}{4} \qquad \textbf{e)}\ \dfrac{2}{3}$

[diktendik]

Yanıt: $\boxed{E}$

$|KB|=7k,|LC|=3x$ olsun. Açı taşırsak $\angle EIK=\angle EBI$ olup benzerlikten $|EI|=12k$ ve benzer şekilde $|DI|=2x$ olur. $\triangle EBC$'nde iç açıortay teoreminden $|IC|=\frac{3}{4}|BC|$ ve $\triangle DBC$'nde iç açıortay teoreminden $|IB|=\frac{2}{4}|BC|$ olur ve oran $\frac{2}{3}$ olur.

[geo]

$K$ dan $BI$ ya çizilen paralel $CE$ yi $M$ de, $L$ den $CI$ ya çizilen paralen $BD$ yi $N$ de kessin.

$90^\circ + \angle CIL = \angle CIA = 90^\circ + \angle ABC / 2 = 90^\circ + \angle CBI$ olduğu için $\angle CIL = \angle CBI = \angle MIK = \angle NLI$.



$KI=LI$ ve açı eşitliklerinden $\triangle IMK \cong \triangle LNI$.
Ayrıca $\triangle BIC \sim \triangle IMK \sim \triangle LNI$.

$\dfrac {BI}{CI} = \dfrac {LN}{IN} = \dfrac {LN}{KM}$.

$\dfrac {BI^2}{CI^2} = \dfrac {LN}{KM} \cdot \dfrac {BI}{CI} = \dfrac {\dfrac {LN}{CI}}{\dfrac {KM}{BI}} = \dfrac {\dfrac {DL}{DC}}{\dfrac {EK}{EB}}$.

$\dfrac {BI}{CI} = \sqrt {\dfrac {\dfrac {DL}{LC}}{\dfrac {EK}{EB}}} = \sqrt {\dfrac {\dfrac 14}{\dfrac 9{16}}} = \dfrac 23$.

[geo]

Basit açı eşitliklerinden $\angle BCI = \angle ACI = \angle BIK$ ve $\angle ABI = \angle IBC = \angle CIL$.

$KL$ ile $BC$, $P$ noktasında kesişsin.
$\triangle IBP \sim \triangle CIP$.

$$\dfrac {BI}{IC} = \dfrac {IP}{CP} = \dfrac {BP}{IP} \Longrightarrow \dfrac {BI^2}{IC^2} = \dfrac {BP}{CP} \tag {1}$$.

$\triangle BKP$ de, $E, I, C$ noktaları için Menelaus'tan $$\dfrac {BE}{EK} \dfrac {KI}{IP} \dfrac {PC}{CB} = 1 \tag {2}$$
$\triangle CLP$ de, $B, I, D$ noktaları için Menelaus'tan $$\dfrac {CD}{DL}\dfrac {LI}{IP}\dfrac {BP}{BC} = 1 \tag {3}$$

$(2)/(3)$ ile $KI=LI$ eşitliğini birleştirirsek $$\dfrac {BE}{EK} \dfrac {DL}{CD} = \dfrac {BP}{PC} = \dfrac {BI^2}{CI^2}$$ elde edilir.

$\dfrac {BI^2}{CI^2} = \dfrac {16}{9} \cdot \dfrac 14 = \dfrac 49 \Longrightarrow \dfrac {BI}{IC} = \dfrac 23$.

[geo]

$AI \perp KL$ ve $\angle KAI = \angle LAI$ olduğu için $KI=LI$.

Basit açı eşitliklerinden $\angle BCI = \angle ACI = \angle BIK$ ve $\angle ABI = \angle IBC = \angle CIL$.

$\triangle EBI \sim \triangle EIK$ dan $\dfrac {BI}{IK}=\dfrac {EB}{EI} = \dfrac {EI}{EK} \Longrightarrow \dfrac {BI^2}{IK^2} = \dfrac {EB}{EK}$.

$\triangle DCI \sim \triangle DIL$ den $\dfrac {CI}{IL} = \dfrac {DC}{DI} = \dfrac {DI}{DL} \Longrightarrow \dfrac {CI^2}{IL^2} = \dfrac {DC}{DL}$.

Taraf tarafa oranlarsak, $\dfrac {BI^2}{CI^2} = \dfrac {EB}{EK} \cdot \dfrac {DL}{DC} = \dfrac {16}{9} \cdot \dfrac {1}{4} = \dfrac 49$.

$\dfrac {BI}{CI} = \dfrac 23$.