Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 19

[geo]

$2x^2-3xy=63$ eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları için, $5x-7y$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad \textbf{b)}\ 8 \qquad \textbf{c)}\ 10 \qquad \textbf{d)}\ 12 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$5x-7y=\lambda$ diyelim, $\lambda$'nın en küçük değerini arıyoruz. $y=\frac{5x-\lambda}{7}$ yazarsak, $x>\frac{\lambda}{7}$ olur ve $$63=2x^2-3x\left(\frac{5x-\lambda}{7}\right)=\frac{-x^2+3x\lambda}{7},$$ dolayısıyla, $$x^2-3x\lambda+441=0$$ bulunur. Bu denklemin pozitif kökü olmalıdır, dolayısıyla, $\Delta\geq 0$ ve $\lambda>0$ olmalıdır ($\Delta\geq 0$ ise kökü vardır, köklerin çarpımı $441$ pozitif olduğundan köklerin toplamı, yani $3\lambda$ pozitif olmalıdır). Diskriminant $\Delta=9\lambda^2-4\cdot 441\geq 0$ olduğundan $\lambda\geq 14$ bulunur. Yani en küçük değer en az $14$'dür ($14$'tür demiyoruz) ancak şıklardan hiçbiri $14$'den büyük olmadığından cevap "Hiçbiri" olacaktır. Böyle bir $\lambda$ yoksa da cevap otomatik olarak hiçbiri olacaktır.

Yine de $\lambda=14$'ü teyit edelim. $x^2-3x\lambda+441=(x-21)^2=0$ olur. $x=21$ bir çözümdür. Yerine yazarsak, $y=13$ bulunur. Yani gerçekten de minimum değer $14$'dür.

[ahmedsyldz]

$f(x, y) = 5x - 7y$ ve $g(x, y) = 2x^2 - 3xy - 63$ olsun. $g(x, y) = 0$ koşulu altında $f$'in ekstremum noktası Lagrange çarpanı metodu gereği $\nabla f = \lambda \nabla g$ eşitliğini sağlamalıdır. Buradan $5 = \lambda(4x - 3y)$ ve $-7 = \lambda(-3)x$ gelir. Bu ifadeleri oranladığımızda $13x = 21y$ elde ederiz. $g(x, y) = 0$ olduğundan $x^2 = 441$ gelir ve $x$ pozitif olduğundan $x = 21$ olmalıdır. Bu durumda $f$'in minimumu $5x - 7y = \frac{2x}{3} = 14$ olur.

[mesutttttt]

$2x^2-3xy=63$  denkleminden $y$'yi çekelim ve diğer ifadede yerine yazalim: $$3xy = 2x^2 - 63 \implies y = \frac{2x^2 - 63}{3x}$$

$$\begin{array}{rcl} 5x - 7\left(\frac{2x^2 - 63}{3x}\right) &=& \frac{15x^2 - 14x^2 + 441}{3x} \\
&=& \frac{x^2 + 441}{3x} \\
&=& \frac{x}{3} + \frac{147}{x}
\end{array}$$ $AGO$ uygularsak $$\frac{x}{3} + \frac{147}{x} \ge 2\sqrt{49} = 14$$ $x=21$ ve $y=13$ değerleri sorunun tüm şartlarını sağlar ve ifadenin değerini $14$ yapar.