Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 18

[geo]

$9n^6+7n^5-1$ sayısının bir tamkare olmasını sağlayan kaç farklı $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad \textbf{b)}\ 1 \qquad \textbf{c)}\ 2 \qquad \textbf{d)}\ 3 \qquad \textbf{e)}\ 4$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen ifadeye $m\geq 0$ olmak üzere $m^2$ diyelim. $m=0$ için çözüm yoktur, dolayısıyla $m\geq 1$ kabul edebiliriz. $$m^2+1=n^5(9n+7)$$ elde edilir. $n$ ve $9n+7$'nin pariteleri farklı olduğundan $m^2+1$ çifttir, yani $m$ tektir.

Eğer $m$ tekse $m^2+1\equiv 2\pmod{8}$ olacağından $n$ de tek olmak zorundadır, aksi takdirde $4\mid n^5$ olurdu. Sonuç olarak $9n+7$ çifttir, hatta $$9n+7\equiv 2\pmod{4}\implies n\equiv 3\pmod{4}$$ elde edilir. Yani $n$'nin $4k+3$ formatında bir asal böleni vardır (aksi takdirde tüm asal bölenleri $4k+1$ formatında olurdu ve $n$ de $4k+1$ formatında olurdu). Bu asal bölene $p$ diyelim. $$m^2+1\equiv 0\pmod{p}\implies m^2\equiv -1\pmod{p}$$ olduğundan $-1$ karekalandır, bu da çelişkidir çünkü $-1$'in $p$ modunda karekalan olması için gerek ve yeterli koşul $p$'nin $4k+1$ formatında olmasıdır. Yani çözüm yoktur.