Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 17

[geo]

Tüm köşeleri aynı çember üzerinde yer alan bir $ABCDE$ beşgeninde $AC$ ve $BE$ köşegenlerinin kesişim noktası $G$ olsun. $|AB|=|BC|=|CD|=|DE|=6$ ve $|BG|=4$ ise $|AC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3\sqrt{10} \qquad \textbf{b)}\ 4\sqrt{6} \qquad \textbf{c)}\ 8 \qquad \textbf{d)}\ 10 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{A}$

$\angle BAC=\alpha$ olsun. $\angle CBE=2\alpha$ ve $\angle BCA=\alpha$ olup $BAG$ üçgeninde sinüs teoreminden $\frac{3}{2}=\frac{\sin{3\alpha}}{\sin{\alpha}}=3-4\sin^2{\alpha}$ olup $\alpha<90^\circ$ olduğundan $\sin{\alpha}=\sqrt{\frac{3}{8}}$ olur. $|AC|=2\cdot\cos{\alpha}\cdot 6=12\cdot\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}=12\cdot\sqrt{\frac{5}{8}}=3\sqrt{10}$ olur.

[geo]

$\angle BAC = \angle BCA =\angle CED =\angle ECD = \angle BEC$.
$\triangle ABC \cong \triangle CDE$, $\triangle BAG \sim \triangle CEG$.

$\dfrac{AB}{BG}=\dfrac{EC}{CG}=\dfrac 64$. $EC=AC=3x$ dersek, $CG=x$ ve $AG=2x$ olur.
$\triangle BAC$ de, Stewart'ın özel halinden $36 = 16 +2x^2 \Longrightarrow x =\sqrt{10}$.
$AC=3\sqrt {10}$

[geo]

$\angle BAC = \angle BCA =\angle CED =\angle ECD = \angle BEC$.
$\triangle ABC \cong \triangle CDE$, $\triangle BCG \sim \triangle BEC$.

$\dfrac{BG}{BC}=\dfrac{CG}{EC}=\dfrac {BC}{BE} =\dfrac 46$.
$BE=9$, $EG=5$. $EC=AC=3x$ dersek, $CG=2x$ ve $AG=x$ olur.
$AG\cdot GC = BG\cdot GE$, $2x^2=4\cdot 5 = 20$. $x=\sqrt{10}$. $AC =3x =3\sqrt{10}$.