Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 15

[geo]

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $2x^4+12x^3+23x^2+15x-3$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ -\dfrac{49}{8} \qquad \textbf{b)}\ -\dfrac{23}{4} \qquad \textbf{c)}\ -\dfrac{91}{16} \qquad \textbf{d)}\ -\dfrac{11}{2} \qquad \textbf{e)}\ -5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Fonksiyona $f(x)$ diyelim. Fonksiyon $4$. dereceden olduğundan ve başkatsayısı pozitif olduğundan sınırlarda ($-\infty$ ve $+\infty$'de) $+\infty$ değeri alır. En küçük değeri kritik noktalarından birinde alacaktır. $$f'(x)=8x^3+36x^2+46x+15=(2x+1)(2x+3)(2x+5)$$ olduğundan minimum değer $x=-\frac{1}{2}$, $x=-\frac{3}{2}$ ve $x=-\frac{5}{2}$ noktalarından birinde alınır. Bu değerleri yerine yazarsak, $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{49}{8}$ en küçüğü olarak bulunur.

[Yağmur Çağla]

Bu ifade $2(x^2+3x+1)^2 +(x^2+3x+1)-6$ şeklinde yazılabilir. $y=x^2+3x+1$ değişken değiştirmesi yaparsak $2y^2+y-6$ elde edilir. Bu ifade $y=\dfrac{-b}{2a}$ tepe noktasında minimum değerini alır. Yani $y=\dfrac{-1}{4}$ seçilir. $y=\dfrac{-1}{4}$ için diskriminant $0$'dan büyük olduğu için $x$ gerçel sayı değeri vardır. Öyleyse $y=\dfrac{-1}{4}$ değerini parabolik ifadede yerine koyarsak minimum değer $\dfrac{-49}{8}$ olarak bulunur.

[Metin Can Aydemir]

Klasik bir metot olarak $n.$ dereceden bir polinomda $x^{n-1}$'in katsayısını sıfırlama yöntemini kullanalım. $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots$ polinomunda $x=y-\frac{a_{n-1}}{na_n}$ dönüşümü yapılırsa, $y^{n-1}$'in katsayısı $0$ olacaktır. Bu polinom için uygularsak, $x=y-\frac{3}{2}$ dönüşümü yapmamız gerekir ki yerine koyduğumuzda $$2y^4-4y^2-\frac{33}{8}=2(y^2-1)^2-\frac{49}{8}$$ elde edilir. Bu fonksiyonun en küçük değeri $y=\pm 1$ için $-\frac{49}{8}$ olarak bulunur.