Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 13

[geo]

$|AB|=|BC|$ ve $|CD|=|DE|$ olan bir $ABCDE$ dışbükey beşgeninde $m(\widehat{ABC})=112^\circ$, $m(\widehat{BCD})=126^\circ$, $m(\widehat{DEA})=92^\circ$ ve $m(\widehat{BAD})=56^\circ$ ise $m(\widehat{BED})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 44^\circ \qquad \textbf{b)}\ 52^\circ \qquad \textbf{c)}\ 56^\circ \qquad \textbf{d)}\ 58^\circ \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$\angle ACB = 34^\circ$, $\angle ACD = 92^\circ$.
$\angle ACD = \angle AED = 92^\circ$ olduğu için, $\triangle ACD \cong \triangle AED$ iddiası çalışır. Ama çözümün tam olması için Sinüs Teoremine başvuracağız.
$\triangle ACD$ ile $\triangle AED$ üçgenlerinin çevrel yarıçapları aynı olmak zorunda. $ED=DC$ olduğu için de, $\sin \angle EAD = \sin \angle CAD$ olmak zorunda. Dışbükey çokgenlikten dolayı, $\angle EAD + \angle CAD = 180^\circ$ olamaz. Geriye sadece $\angle EAD = \angle CAD$ ihtimali kalır. Dolayısıyla $\triangle ACD \cong \triangle AED$.

$\angle CAD = 56^\circ - 34^\circ = 22^\circ$. $\angle ADC = \angle ADE = 66^\circ$, $\angle CED = 24^\circ$ ve $\angle AEC = 68^\circ$.

$\angle AEC + \angle ABC = 180^\circ$ olduğu için $ABCE$ kirişler dörtgenidir. $\angle BEC = \angle BAC = 34^\circ$ ve $\angle BED = 34^\circ + 24^\circ = 58^\circ$.

import geometry;
import olympiad;
size(8cm);

pair A = (0, 0);
pair B = (1, 0);
pair C = (1.375, -0.927);
pair D = (1.014, -1.504);
pair E = (0.345, -1.622);

draw(A--B--C--D--E--cycle);
draw(B--D, dashed);
draw(A--D, dashed);

// Esit kenar isaretleri
draw(pathticks(A--B, 1, 0.5, 1, 3));
draw(pathticks(B--C, 1, 0.5, 1, 3));
draw(pathticks(C--D, 2, 0.5, 1, 3));
draw(pathticks(D--E, 2, 0.5, 1, 3));

// B'de ABC acisi (112)
draw(anglemark(A, B, C, 5));
label("$112^\circ$", B + 0.22*dir(-124));

// C'de BCD acisi (126)
draw(anglemark(B, C, D, 5));
label("$126^\circ$", C + 0.22*dir(175));

// E'de DEA acisi (92)
draw(anglemark(D, E, A, 5));
label("$92^\circ$", E + 0.20*dir(56));

// A'da DAB acisi (56)
draw(anglemark(D, A, B, 5));
label("$56^\circ$", A + 0.22*dir(-28));

// Noktalar
dot("$A$", A, NW);
dot("$B$", B, NE);
dot("$C$", C, SE);
dot("$D$", D, SE);
dot("$E$", E, SW);