Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 11

[geo]

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $P(x)=x^3-9x^2+ax+b$ polinomunun bir aritmetik dizi oluşturan üç farklı gerçel kökü ve $Q(x)=x^3+ax^2+bx+1$ polinomunun bir geometrik dizi oluşturan üç farklı gerçel kökü vardır. Buna göre, $a+b$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 27 \qquad \textbf{b)}\ 30 \qquad \textbf{c)}\ 32 \qquad \textbf{d)}\ 54 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{A}$

İlk polinomun kökleri toplamının üçte biri ortanca kökü verir, bu kök $3$ olur. Ortak farkı $d$ ise Vieta'dan $a=27-r^2$ ve $b=3r^2-27$ bulunur. İkinci denklemin kökleri çarpımının küpkökü ortanca kökü verir ve bu değer $-1$ bulunur. Ortak çarpan $r$ ise $a=\frac{1}{d}+1+d$ ve $b=1+\frac{1}{d}+d$, yani $a=b$ olur. Dolayısıyla ilk kısımdan $r^2=\frac{27}{2}$ ve $a+b=2r^2=27$ olur.