Cevap: $\boxed{B}$
$p$ asal bir sayı ve $k\geq 1$ olmak üzere $a^3+54a+55=p^k$ olsun ($k=0$ olamaz). $a=-1$ bir kök olduğundan ifade çarpanlarına ayrılabilir. $$a^3+54a+55=(a+1)(a^2-a+55)$$ olduğundan $a+1=\pm 1$ veya $p\mid a+1$ olmalıdır. $a$ pozitif olduğundan dolayısıyla $p\mid a+1$ olmalıdır.
Şimdi de $a^2-a+55$ çarpanına odaklanalım. $a^2-a+55\geq 55$ olduğundan bu çarpan da $\pm 1$ olamaz ve $p\mid a^2-a+55$'dir. $a\equiv -1\pmod{p}$ yazarsak, $$a^2-a+55\equiv (-1)^2-(-1)+55\equiv 57\equiv 0\pmod{p}$$ bulunur. Yani sadece $p=3$ veya $p=19$ olabilir. Ancak şunu da görebiliriz, eğer hem $a+1$ hem de $a^2-a+55$ sayıları $p^2$'ye bölünseydi $57\equiv 0\pmod{p^2}$ olurdu ki bu da çelişkidir. Dolayısıyla, ya $a+1=p$'dir ya da $a^2-a+55=p$ olmalıdır. Bariz şekilde $a^2-a+55>a+1$ olduğundan $a=p-1$'dir.
$p=3$ ise $a=2$ olmalıdır ancak $a^2-a+55=57\neq 3^k$ olduğundan çözüm değildir.
$p=19$ ise $a=18$ olmalıdır. Yerine koyarsak, $a^2-a+55=361=19^2$ olduğundan çözümdür ($a^3+54a+55=19^3$). Şartı sağlayan tek pozitif tamsayı $a=18$'dir.
