Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 04

[geo]

$101$ özdeş top kırmızı, beyaz ve mavi renkli üç kutuya, her kutuda en az bir top bulunacak, herhangi iki kutudaki top sayıları farklı olacak ve kırmızı kutudaki top sayısı diğer kutulardaki top sayılarının her birinden daha fazla olacak şekilde kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?

$\textbf{a)}\ 1500 \qquad \textbf{b)}\ 1520 \qquad \textbf{c)}\ 1550 \qquad \textbf{d)}\ 1580 \qquad \textbf{e)}\ 1600$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{E}$

Kırmızı kutuda tüm topların en az $3$'te biri olduğu barizdir. $34$ için açıkça kosul sağlanmaz ve en az $35$ top içerir. Bu durumda diğer iki kutu $34,32$ biçiminde dağılmalıdır ve $2$ durum elde edilir. $36$ durumunda diğer kutular $35,30$'dan başlar ve orta noktada aynı sayılar olmadığından $35-30+1=6$ durum elde edilir. Bundan sonra aralık $36,28$ olup ortada $32,32$ olduğundan $36-28=8$ durum doğar. Sonraki adımda $12$ ve bu şekilde kırmız kutuda $50$ top olana kadar durum $24$ olana kadar devam eder. Buraya kadar $2(1+3+4+6+\cdots+22+24)=2(4+10+16+\cdots+46)=2\cdot 8\cdot 25=400$ durum elde edilir. $51$ durumunda $49,1$'den başlanarak $48$ durum elde edilir. $52$ durumunda $48,1$'den yine $48$ durum bulunur. Sonraki adımlar benzer yollarla $46,46,44,44,42....$ biçiminde olup $48+2(47+45+\cdots+1)=48+2\cdot 576=1200$ olur. Cevap $1200+400=1600$ olur.

[geo]

Yanıt: $\boxed E$.

$a>b>c>1$ ve $a+b+c=101$ şartlarını sağlayan $(a,b,c)$ üçlülerinin sayısı $N$ olsun.
$a$ kırmızı kutudaki top sayısını ifade eder. Beyaz kutudaki top sayısı $b$ veya $c$ kadar olabilir. Bu durumda aradığımız yanıt $2N$ olacaktır.
$x,y,z$ negatif olmayan tam sayılar olmak üzere; $c=z+1$, $b=c+1+y=y+z+2$, $a=b+1+x=x+y+z+3$  olsun. $a+b+c=x+2y+3z+6=101$ ve $x+2y+3z=95$ olacaktır.

$x+2y=95-3z \in \{95, 92, 89, \cdots,  5, 2\}$
$y$ nin değerine göre tek bir türlü $x$ seçilecektir.
$y$ nin alabileceği değerlerin sayısı $48,47, 45, 44, \dots, 3, 2$ olacaktır.
Bu toplam da $N = 95 + 89 + 83 + \dots 11 + 5$.
$N=\displaystyle \sum_{k=1}^{16} 6k - 1 = 6\cdot \dfrac{16\cdot 17}{2}-16=16\cdot 51-16=16\cdot 50 =800$.
$2N=1600$.