$n=1$ için $100$ tane çözüm olduğundan $n\geq 2$ kabul edebiliriz. $x^n\equiv x\pmod{100}$'ün $100$ modundaki çözüm sayısı $25$ ve $4$ modundaki çözümlerinin çarpımı kadardır. $0$ ve $1$ her zaman çözüm olduğundan, her modda en az iki çözüm vardır. Çözüm sayısı $15$ olduğundan $25$ modunda beş çözüm, $4$ modunda $3$ çözüm olmalıdır. $4$ modunda $2$ hiçbir zaman çözüm değildir, dolayısıyla $0,1,3$ çözüm olmalıdır. $0$ ve $1$ her zaman çözümdür, $3$ ise sadece $n$ tekken çözümdür. Geri kalan kısımda $n$'yi tek kabul edeceğiz.
$25$ modunda $5$ çözüm olmasını istiyoruz. Öncelikle $5\mid x$ durumunu inceleyelim. Bu durumda $25\mid x^n$ olacağından tek çözüm $x\equiv 0\pmod{25}$ olacaktır. $(x,5)=1$ durumunda $4$ tane çözüm bulmalıyız. $(x,5)=1$ için $$x^n\equiv x\pmod{25}\iff x^{n-1}\equiv 1\pmod{25}$$ olacaktır. Burada şu lemmayı kullanabiliriz;
Lemma: $P$, tamsayı katsayılı bir polinom olsun. Her pozitif $r$ tamsayısı ve $x,t$ tamsayıları için $$P(x+p^rt)\equiv P(x)+P'(x)p^rt\pmod{p^{r+1}}$$ denkliği sağlanır.
İspat: $P(x)=x^n$ için göstermek yeterlidir, o da binom açılımından kolayca gösterilebilir.
Buradan da şu yorum yapılabilir. Eğer $x_0$, $P(x)\equiv 0\pmod{p^r}$'nin bir çözümü ise bu çözümü $x=x_0+p^rt$ olarak yazıp $p^{r+1}$ moduna çıkardığımızda $$P'(x_i)t\equiv -\frac{P(x_i)}{p^r}\pmod{p}$$ elde edilir. Burada da $3$ ihtimal olabilir.
Birincisi: $P'(x_i)\not\equiv 0\pmod{p}$ ise tam olarak bir tane $t$ değeri vardır, yani $x_0$ çözümünden $1$ çözüm elde etmiş oluruz.
İkincisi: $P'(x_i)\equiv 0\pmod{p}$ ve $p^{r+1}\mid P(x_i)$ ise $p$ tane $t$ değeri elde edilir ve $p$ çözüm elde etmiş oluruz.
Üçüncüsü: $P'(x_i)\equiv 0\pmod{p}$ ama $p^{r+1}\nmid P(x_i)$ ise çözüm yoktur.
$x^{n-1}-1\equiv 0\pmod{25}$ denkliğinin $(x,5)=1$ durumunda $4$ çözümü olması için $x=1,2,3,4$ için $x^{n-1}\equiv 1\pmod{5}$ ve $5\not\mid(n-1)x^{n-2}$ olması gerekmektedir. Bu da $n\equiv 1\pmod{4}$ ve $n\not\equiv 1\pmod{5}$ olduğunda sağlanır. Yani $x^n\equiv x\pmod{100}$ denkliğinin tam olarak $15$ çözümü olmasını sağlayan $n$ değerleri $$n\equiv 5,9,13,17\pmod{20}$$ olan değerlerdir. $100$'den küçük $4\cdot \frac{100}{20}=20$ tane uygun $n$ pozitif tamsayısı vardır.
