https://artofproblemsolving.com/community/c6h351573 linkinde verilen çözümde $a$ nın tek sayı olduğuna göre çözüm yapılmış. Bunu düzenleyerek yazıyorum.
Denklemin sonucuna $t^2 , t \in \mathbb{Z}^+$ olarak tanımlama yapalım. Buradan denklemi $4k$ ile genişletirsek
$$16abk^2 - 4ak - 4bk = 4kt^2$$
olur. Her iki tarafa $1$ eklenirse
$$ (4ak-1)(4bk-1) = 4kt^2+1 $$
olur.
$M=4ak-1$ olsun. Bu durumda
$$ 4kt^2+1 \equiv 0 \pmod{M} $$
sağlanır. Buradan ifadeyi a ile genişletirsek ve $4ak \equiv 1 \pmod{M}$ olduğunu kullanırsak
$$ t^2 \equiv -a \pmod{M} $$
gelir.
$$ \left(\frac{-a}{4ak-1}\right) = 1 $$
olması gerektiğini gösterir. Varsayalım ki $a$ tek sayı olsun. Bu durumda
$$ \left(\frac{a}{4ak-1}\right) \left(\frac{4ak-1}{a}\right) = (-1)^{\frac{a-1}{2}\cdot\frac{4ak-2}{2}} $$
olması bize
$$ \left(\frac{a}{4ak-1}\right)\left(\frac{-1}{a}\right) = (-1)^{\frac{a-1}{2}} $$
sonucunu verir ki bu da bize
$$ \left(\frac{-1}{a}\right) = (-1)^{\frac{a-1}{2}}, $$
olduğundan
$$\left(\frac{-a}{4ak-1}\right) =-1$$
Bu da bize çelişki verir. Varsayalım ki $a'=2^r.a$ , $r\geq 0$ için tanımlı olsun. Bu durumda $$ \left(\frac{-a'}{4a'k-1}\right)=\left(\frac{-a}{4a'k-1}\right)\left(\frac{2}{4a'k-1}\right)^r=\left(\frac{-a}{4ak'-1}\right)\left(\frac{2}{4a'k-1}\right)^r$$ geçişlerini $k'=2^r.k$ olarak tanımlayarak yapabiliriz. İlk terimin $-1$ olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla
$$\left(\frac{2}{4a'k-1}\right)=1$$ olduğunu ispatlamamız yeterlidir. $4a'k-1=N$ diyelim. $N\equiv 7 \pmod 8$ olduğunu biliyoruz. Not kısmındaki formülü göz önüne alırsak $N^2-1\equiv 0 \pmod {16}$ olduğunu ispatlamamız yeterlidir. $N=8x+7$ olacak şekilde $x$ tam sayısı alalım. $N^2=64x^2+16.7.x+49$ yani $N^2\equiv 1 \pmod {16}$ gelir. ispat biter.
Not: Çözümde kullandığımız Quadratic Law of Reciprocity Kuralını da yazalım. $$ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)}{2}\cdot\frac{(q-1)}{2}} $$
Burada tek asal sayı $p,q$ için bu ifade geçerlidir. Bu teorem Jacobi sembolünde de aynı şekilde geçerlidir. Jacobi fonksiyonları için $(p,q)$ nun aralarında asal olması yeterli oluyor. Kullandığımız diğer bilgiler de aşağıda bulunuyor.
$$ \left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{n-1}{2}}, \qquad \left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{\frac{n^2-1}{8}} \quad (n \text{ tek sayı}). $$
