$31^{1995}$ ve $31^{1996}$ ile bölünebilme

[matematikolimpiyati]

Problem [Murray S. Klamkin, 1997]: $a,b \in \mathbb Z^+$ olmak üzere

$a^2+b^2$ sayısı $31^{1995}$ ile bölünebiliyorsa $ab$ sayısının $31^{1996}$ ile bölünebildiğini gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: $31$ bir asal sayı olup, verilenlerden $31\mid (a^2 + b^2)$ yazabiliriz. Öte yandan $31 \equiv 3 \pmod{4}$ şeklinde olduğundan, ispatını yaptığımız şu faydalı teorem gereğince $31\mid a$ ve $31\mid b$ olmalıdır. $a=31a_1$, $b=31b_1$ dersek $31^{1993}\mid a_1^2 + b_1^2$ olur. Bu prosedürü sürdürürsek $a^2 + b^2$ toplamının $31^{1996}$'ya bölünmesi gerektiğini anlarız. Üstelik $31^{998}\mid a$ ve  $31^{998}\mid b$ olmalıdır. Böylece  $31^{1996}\mid ab$ elde edilir.