$(x+y+z)^3=9(x^2y+y^2z+z^2x)$ diyafont denklemi

[matematikolimpiyati]

Problem [Murray S. Klamkin, 1995]: $(x+y+z)^3=9(x^2y+y^2z+z^2x)$ denklemini sağlayan $(k,k,k)$ haricinde $(x,y,z)$ tam sayı üçlüsü var mıdır?

[AtakanCİCEK]

Bu denklemde $x=y+a$  ve $y=z+b$ alınca $y$ li terim katsayılarının açılımlardan aynı geldiğini fark ettim. Buradan yola çıkarak denklemi $3$  değişkenden $2$ değişkene indirgeyebiliriz.   
 Genelliği bozmadan $x\geq y \geq z $ alalım: 

$x=y+a$  ,$y=z+b$ veya $z=y-b$ olacak şekilde $a,b\in Z_{\geq 0}$ vardır. Buradan $$(3y+a-b)^3=9.((y+a)^2.y+y^2(y-b)+(y-b)^2(y+a))$$ elde edilir. Sol tarafı açarsak $$(3y+a-b)^3=27y^3+27y^2(a-b)+9y(a-b)^2+(a-b)^3$$

Sağı hesaplayalım . $$x^2y+y^2z+z^2x=y^3+2ay^2+a^2y+y^3-by^2+(y^3+ay^2-2by^2-2aby+b^2y+ab^2)=3y^2+3.(a-b)y^2+(a-b)^2y+ab^2$$ gelir.  Bunu $9$ ile çarpıp eşitlediğimizde ise $$(a-b)^3=9ab^2$$ elde ederiz. Bu ifadeyi açarsak $$a^3-3a^2b-6ab^2+b^3=0$$ olur. Şimdi  $a=0$ ise $b=0$ ve $b=0$ ise $a=0$  olduğunu not edelim.

Denklemin homojen olmasından dolayı $b^3$ ile denklemi bölüp $\dfrac{a}{b}=t, t\in Q$ tanımlarsak  (Yanlışlıkla reelde tanımlamışım düzelttim.)

$$t^3-3t^2-6t+1=0$$  elde ederiz. Bu denklemin rasyonel kökü olmadığını görebiliriz.  Ayrıca $a=0$  ise $b=0$ olması şartı ile $b=0$ ise $a=0$ olması şartından dolayı  $x=y=z$ harici çözüm gelmiyor.

[matematikolimpiyati]

$$(a-b)^3=9ab^2$$ elde ederiz.

Alternatif olarak (yazarın kendi çözümü):

$a-b=c$ dersek  $$c^3=9b^2(b+c) \tag{1}$$ olur ve eşitliğin sağ tarafı $3$'e bölünebildiği için $c_1$ tam sayı olmak üzere $c=3c_1$ diyebiliriz. Bunu da $(1)$ denkleminde yerine koyarsak $$3c_1^3=b^2(b+3c_1) \implies b^3=3(c_1^3-b^2c_1) \tag{2}$$ elde ederiz ve benzer mantıkla $b_1$ tam sayı olmak üzere $b=3b_1$ yazabiliriz. Bunu da $(2)$ denkleminde yerine koyduğumuzda $$c_1^3=9b_1^2(b_1+c_1) \tag{3}$$ eşitliği sağlanır. $(1)$ ve $(3)$ denklemlerini kıyasladığımızda sonsuz azalma yönteminden dolayı $(1)$ denkleminin tek çözümünün $b=c=0$ olduğunu görürüz. Buradan da $a=0$ ve dolayısıyla $x=y=z$ elde edilir.