Tam Dörtgen ve |MN| = 2|HJ|

[Lokman Gökçe]

Şöyle güzel bir problem keşfettim. Eğer daha önce bulunmuş ise kusurumuz affola 


Problem (Lokman Gökçe): $ABCD$ bir tam dörtgen ve $AB \cap CD = E$, $AD \cap BC = F$ olsun. $[AC], [BD], [EB], [EA], [FD], [FC]$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $M, N, P_1, P_2, Q_1,  Q_2$'dir. $[P_1Q_1], [P_2Q_2]$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $H, J$'dir. Buna göre, $|MN| = 2|HJ|$ olduğunu ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: $[EF]$'nin orta noktası $L$ olsun. Newton-Gauss doğrusu özelliğinden dolayı $N, M, L$ doğrusaldır. $MQ_2LP_2$, $NP_1LQ_1$ paralelkenarlarının köşegenlerinden dolayı sırasıyla $M, H, L$ doğrusal ve $N, J, L$ doğrusal olur. Böylece beş nokta $N, M, J, H, L$ doğrusal olur. Ayrıca $|JN| = |JL|$ ve $|HM| = |HL|$'dir. Şeklin çizimine göre bu beş noktanın kendi aralarındaki sıralamaları değişebileceği için vektörel yazılış kullanalım:
$$ MN = JN - JM = LJ - (HM - HJ) = LJ - LH + HJ = 2HJ$$
elde edilir. $|MN| = 2|HJ|$ bulunur.