Gönderen Konu: dizi {Çözüldü}  (Okunma sayısı 1948 defa)

edizalturk

  • Ziyaretçi
dizi {Çözüldü}
« : Eylül 05, 2008, 03:55:49 öö »
Kaynağını bilmediğim bir soru.
« Son Düzenleme: Eylül 05, 2010, 06:29:34 ös Gönderen: senior »

Çevrimdışı senior

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 372
  • Karma: +10/-0
Ynt: dizi
« Yanıtla #1 : Eylül 05, 2008, 01:43:09 ös »
Sorudaki ifade sanırsam n < 50 için olacak
n(a1 + a2 + ... + an) = 1 + (an+1 + an+2 + ... + a50)
n(a1 + a2 + ... + an) + an = 1 + (an + an+1 + an+2 + ... + a50) = (n-1)(a1 + a2 + ... + an-1) (ana eşitlikten)
n(a1 + a2 + ... + an-1) + (n+1)an = (n-1)(a1 + a2 + ... + an-1) ==> a1 + a2 + ... + an-1 = - (n+1)an (1)
(1)'i kullanarak a1 + a2 + ... + an-2 = -n(an) deyip (1)' de yerine koyarız(n > 2) ve
-n(an + an-1 = -(n+1)an ==> an-1 = ((n+1)/(n-1))an (2), n = 3'ten başlayalım:
a2 = 4/2 a3
a3 = 5/3 a4
...
an-2 = an-1 (n)/(n-2)
an-1 = an(n+1)/(n-1)  taraf tarafa çarptığımızda:
a2 = an * n(n+1)/6 (3) olur.
(1) nolu eşitlik n=2 için de geçerli olduğu için a1 = -3a2 olur bunu (3)'te yerine koyarsak
a1 = -an * n(n+1)/2 ==> an = -2a1 /(n(n+1)) (4)  olur.
Artık tek yapmamız gereken a1 'in değerini bulmak.
Ana eşitlikte n=1 verirsek, a1 = 1 + (a2 + a3 + ... + a50) (4) no'lu eşitliği kullanarak bütün ak 'li ifadeleri açalım:
a1 = 1 - 2a1(1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(5*6) + ... + 1/(50*51)) = 1 - 2a1( (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/5-1/6) + ... + (1/50-1/51)) = 1 -  2a1(1/2 - 1/51) ==> a1 = 51/100
O zaman a16 = -2 * (51/100) * (1/16*17) = -3/800


« Son Düzenleme: Eylül 05, 2008, 01:45:10 ös Gönderen: senior »

Çevrimdışı senior

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 372
  • Karma: +10/-0
Ynt: dizi
« Yanıtla #2 : Eylül 05, 2008, 02:55:27 ös »
Daha kısa bir çözüm:
ana eşitlikte her iki tarafa a1 + a2 + ... + an eklediğimizde eşitlik (n+1)(a1 + a2 + ... + an) = 1 + a1 + a2 + ... + a50  haline gelir. n=50 için,
51(a1 + a2 + ... + a50) = 1 + a1 + a2 + ... + a50 ==> a1 + a2 + ... + a50 = 1/50
n=15, için 16(a1 + a2 + ... + a15) = 1+ 1/50 ==> a1 + a2 + ... + a15 = 51/(16*50)
n=16 için 17(a1 + a2 + ... + a16) = 51/50 ==> 17a16 = 51/50 - 17(a1 + a2 + ... + a15) ==> a16 = -3/800

Not: Bu çözümde n=50 kullandım ama soruda verilen ifadede n=50 için eşitliğin sağ tarafının ne olacağı belli olmalı bence

« Son Düzenleme: Eylül 05, 2008, 02:58:06 ös Gönderen: senior »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal