Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2025 Soru 2

[matematikolimpiyati]

$\Omega$ ve $\Gamma$ çemberlerinin merkezleri sırasıyla $M$ ve $N$ olsun ve $\Omega$ çemberinin yarıçapı $\Gamma$ çemberinin yarıçapından daha küçük olsun. $\Omega$ ve $\Gamma$ çemberleri birbirlerinden farklı $A$ ve $B$ noktalarında kesişiyor. $MN$ doğrusu $\Omega$ ile $C$ noktasında ve $\Gamma$ ile $D$ noktasında, bu noktalar bulundukları doğru üzerinde $C$, $M$, $N$ ve $D$ sırası ile yer alacak şekilde kesişiyor. $ACD$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $P$ olsun. $AP$ doğrusunun $\Omega$ ile ikinci kesişim noktası $E \neq A$ olsun. $AP$ doğrusunun $\Gamma$ ile ikinci kesişim noktası $F \neq A$ olsun. $PMN$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. $H$ noktasından geçen ve $AP$ doğrusuna paralel olan doğrunun $BEF$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

(Bir üçgenin diklik merkezi, o üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır.)

(Vietnam)

[geo]

$\angle ACD =\alpha$ ve $\angle ADC=\beta$ olsun.
$\angle AMN =2\alpha$, $\angle ANM =2\beta$.
$\angle DPA=2\angle ACD = 2\alpha$ ve $\angle CPA=2\angle ADC =2\beta$.
$\angle AMD = \angle DPA = 2\alpha$ olduğu için $A,M,P,D$  çemberseldir. Bu durumda $\angle APM =\angle ADM = \beta$ ve benzer şekilde $\angle APN = \alpha$ dır.

$\angle PAC = 90^\circ-\beta$ ve $\angle PAM = \angle PAC - \angle MAC = 90^\circ-\alpha -\beta$. Bu durumda $MAN$ üçgeninde $AP$ açıortaydır.

$\Omega$ nın $A$ dan geçen çapı $AK$, $\Gamma$ nın $A$ dan geçen çapı $AL$ olsun.
$AM=MK$ ve $AN=NK$ olduğu için $MN\parallel KL$. $AB\perp MN$ olduğu için de $AB\perp KL$ ve $K,B,L$ doğrusaldır.
$KL$ nin orta noktası $Q$ olsun. $MQ\parallel AN$, $NQ\parallel AM$. Yani $AMQN$ paralelkenardır.

$AKBE$ kirişler dörtgeninde $\angle EBL = \angle KAE = 90^\circ -\alpha -\beta$.
$ABFL$ kirişler dörtgeninde $\angle FBL = \angle FAL=90^\circ-\alpha-\beta$.
Dolayısıyla $BEF$ üçgeninde $BQ$ açıortaydır.
$\angle MEA= \angle EAM =\angle EAN = 90^\circ-\alpha-\beta$ olduğu için $ME\parallel AN$, dolayısıyla $M,E,Q$ doğrusaldır.

$HN\perp MP$, $MP\perp AC$ olduğu için $AC\parallel HN$, dolayısıyla $\angle MNH =\angle ACM =\alpha$, benzer şekilde $\angle NMH =\angle ADN =\beta$ dır.

$MNQ$ üçgeninde $H$, iç merkezdir.
$\angle FBQ =\angle EBQ = \angle MEA = \angle FEQ =\angle EQH=90^\circ-\alpha-\beta$ olduğu için $E, B, F, Q$ çembersel, $HQ\parallel EF$ ve $HQ$ doğrusu $(EBFQ)$ çemberine teğettir.