$d(n)$'nin tamkare olması gerektiği barizdir. Verilen denklemde $d(n)=m^2$ dönüşümü yaparsak $d(m^2)=m$ elde edilir. Önce bu denklemi çözelim. $m=1$ eşitliği sağlar. $m\geq 2$ için $m=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ şeklinde asal çarpanlarına ayırırsak, $$d(m^2)=(2a_1+1)(2a_2+1)\cdots (2a_k+1)=m$$ olacaktır. $m$ tek sayıdır. Dolayısıyla, $a_i\geq 1$ ise $$p_i^{a_i}\geq 3^{a_i}\geq 2a_i+1$$ ve $a_i\geq 2$ ise $3^{a_i}>2a_i+1$ olacağından, eğer bir tane bile $a_i\geq 2$ olursa $d(m^2)<m$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla $a_i$'lerin hepsi $1$'dir. Buradan da $d(m^2)=3^k$ elde edilir. Tek asal bölen olduğundan $k=1$'dir ve $m=3$ elde edilir. Gerçekten de $d(9)=3$ doğrudur.
Sonuç olarak denklemi sağlayan bir $n$ pozitif tamsayısı $d(n)=1$ veya $d(n)=3^2=9$ eşitliklerini sağlamalıdır. $d(n)=1$'in tek çözümü $n=1$'dir. $d(n)=9$ için ise $p^8$, $p^2q^2$ formatlarında olması gerekir. $p^8<2025$ olan tek asal $p=2$'dir. $p^2q^2<2025$, yani $pq<45$ olanlar ise $pq=6,10,14,22,26,34,38,15,21,33,39,35$ sayılarıdır. Dolayısıyla, şartı sağlayan $13$ tane pozitif tamsayı vardır. Hatta bunlar, $$2^8,6^2,10^2,14^2,15^2,21^2,22^2,26^2,33^2,34^2,35^2,38^2,39^2$$ sayılarıdır.
