Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 31

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $\dfrac{(a^2+3)(b^3+2)(a^4+9b^4)}{a^3b^3}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 48  \qquad\textbf{b)}\ 36\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 48\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 120  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cevap: $\boxed{B}$

$$\dfrac{(a^2+3)(b^3+2)(a^4+9b^4)}{a^3b^3}\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{2a\sqrt{3}\cdot 3b\cdot 6a^2b^2}{a^3b^3}=36\sqrt{3}$$ olacaktır. Eşitlik durumu $(a,b)=(\sqrt{3},1)$  iken sağlanır.